Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2004 2005 môn Toán lớp 8

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

Phòng GD-ĐT yên thế Trường THCS–TT Bố hạ

GV: Nguyễn Xuân Hường

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh

Năm học 2004 – 2005

Môn : Toán lớp 8

Thời gian : 150 phút

Câu 1 ( 2 điểm )

Phân tích các đa thức sau thành thừa số: a) x4 +6x3 +7x2 - 6x + 1 b) x8 +x4 +1 Câu 2 ( 2 điểm )

a) cho x 0 và x + = a là một hằng số. Tính theo a các biểu thức :  x 1

A = x3 + , B = x6 + ; C = x7 + 3 1 x 6 1 x 7 1 x

b) chứng minh rằng nếu a,b,c là 3 số thoả mãn a+b+c=2005 và thì 1 2005

1 1 1 1    c b a trong ba số a,b,c phải bằng 2005 Câu 3 ( 2 điểm )

Một người nông dân bán số dừa như sau :

Lần thứ nhất bán 9 trái và số dừa còn lại 6 1

Lần thứ hai bán 18 trái và số dừa còn lại 6 1

Lần thứ ba bán 27 trái và số dừa còn lại 6 1

Với cách bán đó thì bán lần sau cùng thì vừa hết số dừa. Biết rằng số dừa bán mỗi lần đều bằng nhau.

Hỏi người nông dân đã bán bao nhiêu lần và số dừa đã thu hoạch là bao nhiêu? Câu 4 ( 3 điểm )

Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD và phân giác ngoài AE. Cho biết AB<AC chứng minh các hệ thức sau :

a- AD AC AB

2 1 1  

b- AE AC AB

2 1 1  

Câu 5 ( 1 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương thoả mãn : 2 1 1 1    z y x

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

Đáp án chấm Toán 8 yên thế

Câu Hướng dẫn chấm Điểm 1.a x4+6x3+7x2-6x+1

= x4+2x2(3x-1)+(3x-1) =(x2+3x-1)2

0,5 0,5 1.b Ta có : x8 +x4 +1 = x8 +2x4 +1-x4 =(x4+1)2 –x4 = (x4-x2+1) (x4+x2+1)

0,5 0,5 2.a Tính đúng A=a3-3a Tính đúng B=a6-6a4+9a2-2

0,5 0,5 2.b Từ giả thiết suy ra c b a c b a      1 1 1 1

0 1 1 1 1       

            c b a c b a

  0   

    c b a c

b a ab

b a

0 ) )( ( 2       ab c cb ca b a từ đó biến đổi thành (a+b)(b+c)(a+c)=0

  





 

 

  

0

0 0

c b

c a

b a

  





   

2005 2005 2005

a b c

Điầu phải chứng minh 3 Giả sử người đó bán x lần ( x N;x 3)   Vì lần cuối bán vừa hết, nên lần cuối người đó bán 9x trái. Vì số dừa bán mỗi lần đều bằng nhau nên số dừa đã bán sau x lần là 9.x.x= 9x2 trái

Ta có phương trình : 9 + (x2-9)=x 6 1

Giải phương trình ta có x = 5 thoả mãn Vậy người đó đã bán 5 lần và số dừa đã bán là 255 trái

0,5

0,5 0,5 0,5

4 a/ Ta có SABC= AB.AC =SABD+SADC 2 1

= AB.AD sin450 + AC .AD sin450 2 1

2 1

Suy ra AB.AC = (AB+AC).AD 2

2

Do đó a a n n . 37 .3 111 2

)1 (   

b/ SABC= AB.AC = SAEC-SAEB 2 1

AB.AC = ( AC-AB) 2

AE

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

Suy ra AE AC AB

2 1 1  

A

B C E D

0,5

5 Giả sử x thế thì vì x là số nguyên dương nên z y   2 1 1 1    z y x x

3

x = 1,

khi đó vì y là số nguyên dương suy ra y = 2 hoặc y=1 1 1 1  z y y

2

Nếu y = 2 thì z= 2 Nếu y= 1 thì không có z thoả mãn Vậy cặp số ( x,y,z) cần tìm thoả mãn điều kiện đầu bài là (1,2,2) và các hoán vị của nó

0,25

0,25 0,25

0,25

ThuVienDeThi.com