Đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh năm học 2004 - 2005 môn Toán 8

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh

Năm học 2004 - 2005

Môn: Toán 8 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2 điểm)

a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 - 7x - 6

b/ Giải phương trình: x4 - 30x2 + 31x - 30 = 0

Câu 2 (2 điểm)

a/ Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, với a, b, c là các số hữu tỉ. Biết rằng f(0), f(1), f(2)

có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.

b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của: A =

1 2 2

6 8 2 3

 

 

x x

x x

Câu 3 (2 điểm)

a/ Chứng minh rằng với 4 số bất kỳ a, b, x, y ta có

(a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2 

b/ Chứng minh rằng: x3m+1 + x3n+2 + 2 chia hết cho x2 + x + 1 với mọi số tự nhiên m,n.

Câu 4 (3 điểm)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với 3 đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm

của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

1 '

' '

' ' '    CC HC BB HB AA HA

Câu 5 (1 điểm)

Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: . 9 1 1 1    c b a

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh

Năm học 2004 - 2005 Câu 1 a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 - 7x - 6 = x3 - 4x - 3x - 6 = x(x2 - 22) - 3(x + 2) (1/2 điểm) = x(x + 2)(x - 2) - 3(x + 2) = (x + 2)(x2 - 2x - 3) = (x + 2)(x2 - 1 - 2x - 2) = (x + 2) [(x - 1)(x + 1) - 2(x + 1)] = (x + 2)(x + 1)(x - 3) (1/2 điểm) b/ x4 -30x2 + 31x - 30 = 0 <=> (x2 - x + 1)(x - 5)(x + 6) = 0 (*) Vì x2 - x + 1 = (x - 1/2)2 + 1/4 > 0 (1/2 điểm)

=> (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0 <=> (1/2 điểm) 

  



     

 

6 5 0 6

0 5

x x x x

Câu 2 a/ Có f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(2) = 4a + 2b + c là các số nguyên (1/2 điểm) => a + b + c - c = a + b nguyên => 2a + 2b nguyên => 4a + 2b nguyên => (4a + 2b) - (2a + 2b) = 2a nguyên => 2b nguyên Vậy 2a, 2b nguyên.

b/ Có A = (1/2 điểm) 2 )1 (

1 1 2 3 2 )1 (

1 )1 ( 2 )1 2 2 (3

     

    

x x x

x x x

Đặt y = => A = y2 – 2y + 3 = (y – 1)2 + 2 2 (1/2 1 1

 x 

điểm)

=> min A = 2 => y = 1 => x = 2 1 1 1   x Vậy min A = 2 khi x = 2 (1/2 điểm) Câu 3 a/ Ta có (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2  <=> a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 a2x2 + 2axby + b2y2 (1/4  điểm)

<=> a2y2 - 2axby + b2x2 0 <=> (ay - bx)2 0 (1/4 điểm)   Vì bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức đúng nên bất đẳng thức phải chứng minh là bất đẳng thức đúng. (1/4 điểm)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ay - bx = 0 hay (1/4 điểm) y b x a 

b/ Ta có x3m+1 + x3n+2 + 1 = x3m+1 - x + x3n+2 - x2 + x2 + x + 1 (1/4 điểm) = x(x3m - 1) + x2(x3n - 1) + (x2 + x + 1) (1/4 điểm) Ta thấy x3m - 1 và x3n - 1 chia hết cho x3 - 1 do đó chia hết cho x2 + x + 1 x3m+1 + x3n+2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1 Câu 5

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

Do a + b + c = 1 nên (1/2 điểm)

  



  





  

  

  

c b c a c

b c b a b

a c a b a

1 1

1 1

1 1

Vậy 9 2 2 2 3 3 1 1 1                

  

        

  



b c c b a c c a a b b a c b a Dấu đẳng thức xảy ra a = b = c = 1/3. Câu 4

+ Có SABC = BC . AA’ (1/2 điểm) 2 1

+ Có SHBC = BC . HA’ (1/2 điểm) 2 1

+ Có SHAC = AC . HB’ (1/2 điểm) 2 1

+ Có SHAB = AB . HC’ (1/2 điểm) 2 1

+ ; ; (1/2 điểm) AA' HA'

ABC S

HBC S

 BB' HB'

ABC S

HAC S

 CC' HC'

ABC S

HAB S



=> 1 ABC S

ABC S

ABC S

HAB S HAC S HBC S

   

Vậy (1/2 điểm) 1 '

' '

' ' '    CC HC BB HB AA HA

A

B C

C'

B'

A'

H

ThuVienDeThi.com