Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 8

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

Đề thi chọn học sinh giỏi

Môn : Toán lớp 8 Thời gian làm bài : 120 phút

Câu 1 : (2 điểm)

Cho P= 8 14 7

4 4

2 3

2 3

  

  

a a a

a a a

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên

Câu 2 : (2 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các

lập phương của chúng chia hết cho 3.

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức :

P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Câu 3 : (2 điểm)

a) Giải phương trình : 18

1 42 13

1 30 11

1 20 9

1

2 2 2          x x x x x x

b) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :

A = 3          c b a

c b c a

b a c b

a

Câu 4 : (3 điểm)

Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy bằng 600

quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và

E. Chứng minh :

a) BD.CE= 4

2 BC

b) DM,EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED.

c) Chu vi tam giác ADE không đổi.

Câu 5 : (1 điểm)

Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số

đo diện tích bằng số đo chu vi.

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

đáp án đề thi học sinh giỏi

môn thi : toán lớp 8 Câu 1 : (2 ®) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nêu ĐKXĐ : a 0,25 4 ;2 ;1    a a

Rút gọn P= 0,25 2 1 

 a

a

b) (0,5®) P= ; ta thấy P nguyên khi a-2 là ước của 3, 2 3 1 2

3 2

   

 

a a a

mà ¦(3)= 0,25   3;3 ;1;1   Từ đó tìm được a 0,25   5;3;1   Câu 2 : (2®) a)(1đ) Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a+b chia hết cho 3 . 0,25 Ta có a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) =   ab b ab a 3 ) 2 ( 2 2    =(a+b) 0,5   ab b a 3 ) ( 2   Vì a+b chia hết cho 3 nên (a+b)2-3ab chia hết cho 3 ; Do vậy (a+b) chia hết cho 9 0,25   ab b a 3 ) ( 2   b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 0,5 Ta thấy (x2+5x)2 0 nên P=(x2+5x)2-36 -36 0,25   Do đó Min P=-36 khi (x2+5x)2=0 Từ đó ta tìm được x=0 hoặc x=-5 thì Min P=-36 0,25 Câu 3 : (2®) a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 ĐKXĐ : 0,25 7 ;6 ;5 ;4         x x x x Phương trình trở thành :

1 1 1 1 ( 4)( 5) ( 5)( 6) ( 6)( 7) 18 x x x x x x         

18

1 7 1 6 1 6 1 5 1 5 1 4 1             x x x x x x

0,25 18

1 7 1 4 1     x x 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ đó tìm được x=-13; x=2; 0,25 b) (1®) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0

Từ đó suy ra a= ; 0,5 2 ; 2 ; 2

y x c z x b z y     

Thay vào ta được A= 0,25 

 

            ) ( ) ( ) ( 2 1 2 2 2 y z z y x z z x y x x y z

y x y

z x x

z y

Từ đó suy ra A hay A 0,25 ) 2 2 2 ( 2 1    3 

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

Câu 4 : (3 ®) a) (1®) Trong tam giác BDM ta có : 1 0 1 ˆ 120 ˆ M D   Vì =600 nên ta có : 2 ˆM 1 0 3 ˆ 120 ˆ M M   Suy ra 3 1 ˆ ˆ M D  Chứng minh ∾ (1) 0,5 BMD  CEM 

Suy ra , từ đó BD.CE=BM.CM CE CM BM

BD 

Vì BM=CM= , nên ta có BD.CE= 0,5 2 BC

4

2 BC

b) (1®) Từ (1) suy ra mà BM=CM nên ta có EM MD CM

BD 

EM MD BM

BD 

Chứng minh ∾ 0,5 BMD  MED  Từ đó suy ra , do đó DM là tia phân giác của góc BDE 2 1 ˆ ˆ D D  Chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của góc CED 0,5 c) (1®) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC Chứng minh DH = DI, EI = EK 0,5 Tính chu vi tam giác bằng 2AH; Kết luận. 0,5

Câu 5 : (1®) Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z ; trong đó cạnh huyền là z (x, y, z là các số nguyên dương ) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2) 0,25 Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy, thay (1) vào ta có : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)

z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2, suy ra z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta được : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 …