Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 năm học 2009 - 2010

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

Trường THCS Đông Minh đề thi HS giỏi môn toán lớp 8

Năm học: 2009-2010 Thời gian : 120 phút (Không kể giao đề)

Bài 1: (1.5®) Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x2 – xz – 9y2 + 3yz.

b) 4x4 + 4x3 – x2 - x.

Bài 2: (2.5®) Cho biểu thức.

P = ( + ): ( - ) 27 9 3

3

2 3

2

  



x x x

x x

9 3

2  x 3 1  x 27 9 3

6

2 3    x x x

x

a) Rút gọn P.

b) Với x > 0 thì P không nhận những giá trị nào?

c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.

Bài 3: (1.5®) Giải phương trình.

a) x3 – 3x2 + 4 = 0

b) 16

31 ) 2 (

1 1 ... 5.3 1 1 4.2 1 1 . 3.1 1 1   

  



                    x x

Bài 4: (1®) Giải phương trình.

Cho 3 số a, b, c là 3 số dương nhỏ hơn 2.

Chứng minh rằng 3 số a(2 - b); b(2 – c); c(2 – a) không thể đồng thời lớn hơn 1.

Bài 5: (3.5®)

Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi M là một điểm di động trên cạnh AC, từ C vẽ

đường thẳng vuông góc với tia BM tại H, cắt tia BA tại O. Chứng minh rằng:

a) OA.OB = OC.OH

b) OHA có số đo không đổi.

c) Tổng BM.BH + CM.CA không đổi.

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

Biểu điểm và đáp án toán 8-Đông Minh

Bài 1: (1.5®) Câu a: (0.57®) = (x2 - 9y2) – (xz - 3yz) 0.25® = (x - 3y)(x + 3y) – z(x - 3y) 0.25® = (x - 3y)(x + 3y - z) 0.25® Câu b: (0.75®) = x(4x3 + 4x2 – x – 1) 0.25® = 0.25®      1 1 4 2    x x x x = x(x + 1)(4x2 - 1) = x(x + 1)(2x - 1)(2x + 1) 0.25® Bài 2: (2.5®) Câu a: 1®

P = : 0.25®  

  



   



9 3 ) 3 )( 9 (

) 3 (

2 2 x x x

x x

 

  



    ) 9 )( 3 (

6 3 1

2 x x

x x

= 0.25®    9 3

6 9 : 9 3

2

2

2  

   

x x

x x x

x

= 0.25®     

2

2

2 3

9 3 . 9 3



   

x

x x x

x

= 0.25® 3 3   x x

Câu b: (0.75®)

P = Px - 3P = x + 3 0.25®   

3 3 x x

(P – 1)x = 3(P + 1)

x =   1

1 3



 P

P

Ta có: x > 0    0 1 1 0 1

1 3      

  P P P

P x 



  

    





  

 

    

 

 

 1 1

0 1

0 1

0 1

0 1

P P

P P

P P

Vậy không nhận giá trị từ -1 đến 1. 0.25® Câu c: 0.75® ĐKXĐ: 3   x

P = = 0.25® 3 3   x x

3 6 1 3

6 3

   

 

x x x

P nhận giá trị nguyên x - 30 ¦ (6) =     6 ;3 ;2 ;1     Từ đó tìm được x 0.25®   3 ;9;0;6;1;5;2;4   Kết hợp với Đ/C ; ta được. x 0.25® 3   x z x    9;0;6;1;5;2;4  Vậy x thì P nguyên.   9;0;6;1;5;2;4  Bài 3: Giải phương trình (1.5®) Câu a: (0.75®) - Đưa được về dạng tích: (x + 1)(x - 2)2 = 0 0.50®

 



  2 1 x

x

ThuVienDeThi.com

http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77

Vậy phương trình có nghiệm: x = 1; x = 2 0.25® Câu b: (0.75®) ĐK: x N*n 

- Đưa về dạng 0.25® 16

31 ) 2 (

)1 ( ... 5.3 4 . 4.2 3 . 3.1 2

2 2 2 2

   x x

x

0.25® 16

31 2

)1 ( 2  

  x

x

Từ đó tìm được x = 30 (t/m x N*)   Vậy phương trình có nghiệm: x = 30 0.25® Bài 4: (1®) Giả sử a(2 – b) > 1; b.(2 – c) >1; C(2 – a) > 1

abc (2 – b)(2 – c)(2 – a) > 1 (1) 

0.25® vì 0 < a < 2 nên 2 – a > 0. Do a + (2 – a) = 2 không đổi, suy ra a(2 – a) lớn nhất.

a = 2 – a a = 1   Tương tự b(2 – b) lớn nhất b = 1  c(2 – c) lớn nhất c = 1  Vậy a (2 - a). b(2 – b). c(2 – c) 1.1.1 = 1 (2)  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1 0.25® (1) và (2) mâu thuẩn nhau. Do đó 3 số a(2 – b); b(2 – c); c(2 – a) không thể đồng thời lớn hơn 1 0.25® Bài 5: (3.5®)

Câu a: (1®) Chứng minh: B0H C0A (g.g) 0.5®  

0A.0B = 0C.0H 0.25®    A H C

B

0 0 0 0

Câu b: (1.25®)

(suy ra từ B0H C0A) A H C

B

0 0 0 0   

0.25® B H C

A

0 0 0 0  

- Chứng minh 0HA 0BC (c.g.c) 0.25®   OHA = OBC (không đổi)  Câu c: (1.25®) Vẽ MK BC 

- BKM BHC (g.g)   BH BK BC BM  

BM.BH = BC.BK (1) 0.5®  CKM CAB (g.g) 0.25®  

CM.CA = BC.CK (2) 0.25®    CA CK CB CM

- Cộng từng vÕ của (1) và (2) ta được:

B

C

O

H

M

A

K

ThuVienDeThi.com