Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8 cấp huyện năm học 2009 2010 môn Toán

PHÒNG GD & ĐT BÌNH SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2009 – 2010

MÔN TOÁN Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (4 điểm)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.

Bài 2: (2 điểm)

Giải phương trình:

. x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23        

Bài 3: (3 điểm)

Tìm x biết:

.            

2 2

2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19

49 2009 x 2009 x x 2010 x 2010

            

Bài 4: (3 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 2 2010x 2680 A x 1   

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.

a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 6: (4 điểm)

Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho: . A A A A A A AFE BFD, BDF CDE, CED AEF   

a) Chứng minh rằng: . A A BDF BAC  b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.

ThuVienDeThi.com

Một lời giải:

Bài 1:

a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 =  

3 3 3 3 x y z x y z             

=         2 2 2 2 y z x y z x y z x x y z y yz z               

= = 3    2 y z 3x 3xy 3yz 3zx           y z x x y z x y        

= 3 .     x y y z z x   

b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 =    4 2 x x 2010x 2010x 2010    

= = .      2 2 x x 1 x x 1 2010 x x 1          2 2 x x 1 x x 2010    

Bài 2:

x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23        

x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 4 0 17 19 21 23            

x 258 x 258 x 258 x 258 0 17 19 21 23         

 1 1 1 1 x 258 0 17 19 21 23             x 258   Bài 3:

.            

2 2

2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19

49 2009 x 2009 x x 2010 x 2010

            

ĐKXĐ: . x 2009; x 2010   Đặt a = x – 2010 (a 0), ta có hệ thức: 

       

2 2

2 2 a 1 a 1 a a 19

49 a 1 a 1 a a

        

2

2 a a 1 19 3a 3a 1 49      

2 2 49a 49a 49 57a 57a 19       2 8a 8a 30 0    

(thoả ĐK)      2 2 2a 1 4 0 2a 3 2a 5 0        

3 a 2

5 a 2

  

 

Suy ra x = hoặc x = (thoả ĐK) 4023

2

4015

2

ThuVienDeThi.com

Vậy x = và x = là giá trị cần tìm. 4023

2

4015

2 Bài 4:

2 2010x 2680 A x 1   

=

2 2 2

2 2 335x 335 335x 2010x 3015 335(x 3) 335 335 x 1 x 1            Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3.

Bài 5:

a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì ) A A  o E A F 90    Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân giác của . ABAC b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF

Suy ra 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất  D là hình chiếu vuông góc của A lên BC.  Bài 6:

a) Đặt . A A A A A A AFE BFD , BDF CDE , CED AEF      

Ta có (*) A 0 BAC 180  Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF.

(1) A A A o OFD OED ODF 90    Ta có (2) A A A o OFD OED ODF 270    (1) & (2) (**)  o 180 

(*) & (**) . A A BAC BDF  b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:

, AB AC 

 AEF  DBF  DEC  ABC   BD BA 5 5BF 5BF 5BF BD BD BD BF BC 8 8 8 8 CD CA 7 7CE 7CE 7CE CD CD CD CE CB 8 8 8 8 AE AB 5 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24 AF AC 7

                                                         (3) CD BD 3    Ta lại có CD + BD = 8 (4) (3) & (4) BD = 2,5 

E

F

A B

C

D

O

A

B C

F

D

E



 

 



s

s

s

ThuVienDeThi.com