Ôn thi học sinh giỏi môn Toán 8

Đề 1 Bài 1: (3®) Chứng minh rằng:

a) 85 + 211 chia hết cho 17 b) 1919 + 6919 chia hết cho 44 Bài 2: (3®)

a) Rút gọn biểu thức:

2

3 2

6 4 18 9 x x x x x     

b) Cho . Tính 1 1 1 0( , , 0) x y z x y z     2 2 2 yz xz xy x y z  

Bài 3:(3®) Cho tam giác ABC . Lấy các điểm D,E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA, CA sao cho BD + CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD .Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳmg này cắt AC ë K. Chứng minh rằng AB = CK. Bài 4 (1®). Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có): M = 4x2 + 4x + 5

Đáp án Bài 1 : (3®)

a) (1,5®) Ta có: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17 Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17.

b) (1,5®) áp dụng hằng đẳng thức: an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) với mọi n lẽ. Ta có: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918) = 88(1918 – 1917.69 + …+ 6918) chia hết cho 44. Bài 2 : (3®) a) (1,5®) Ta có: x2 + x – 6 = x2 + 3x -2x -6 = x(x+3) – 2(x+3) = (x+3)(x-2). x3 – 4x2 – 18 x + 9 = x3 – 7x2 + 3x2 - 21x + 3x + 9 =(x3 + 3x2) – (7x2 +21x) +(3x+9) =x2(x+3) -7x(x+3) +3(x+3) =(x+3)(x2 –7x +3)

=> = Với điều kiện x -1 ; x2 -7x + 3 0

2

3 2

6 4 18 9 x x x x x      2 2 (x+3)(x-2) ( 2) (x+3)(x -7x +3) x -7x +3

x    

b) (1,5®) Vì

3

3 3 3 2 2 3

1 1 1 1 1 1 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3. . 3 .

x y z z x y

z x y z x x y x y y

           

                   

3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 . . 3. x y z x y x y x y z xyz               

ThuVienDeThi.com

Do đó : xyz( + + )= 3 3 1 x 3 1 y 3 1 z 3 3 3 2 2 2 3 3 xyz xyz xyz yz zx xy x y z x y z        

Bài 3 : (3®) Chứng minh :

Vẽ hình bình hành ABMC ta có AB = CM . Để chứng minh AB = KC ta cần chứng minh KC = CM. Thật vậy xét tam giác BCE có BC = CE (gt) => tam giác CBE cân tại C =>

vì góc C1 là góc ngoài của : : 1 B E 

tam giác BCE =>

mà AC // BM : : : : : 1 1 1 1 1 2 C B E B C     (ta

vẽ) => nên : : : : 1 1

1 2 C CBM B CBM    BO

là tia phân giác của . Hoàn :CBM toàn tương tự ta có CD là tia phân giác của góc BCM . Trong tam giác BCM, OB, CO, MO đồng quy tại O => MO là phân tia phân giác của góc CMB

Mà : là hai góc đối của hình bình hành BMCA => MO // với tia phân giác của : : , BAC BMC góc A theo gt tia phân giác của góc A còn song song với OK => K,O,M thẳng hàng.

Ta lại có : mà (hai góc đồng vị) => : : : : 1

1 ( ); 2 M BMC cmt A M   : : 1 2 M A   : : 1 2 A K 

cân tại C => CK = CM. Kết hợp AB = CM => AB = CK (đpcm) : : 1 1 K M CKM  

Bài 4: (1®) Ta có M= 4x2 + 4x + 5 =[(2x)2 + 2.2x.1 + 1] +4 = (2x + 1)2 + 4. Vì (2x + 1)2 0 =>(2x + 1)2 + 4 4  M 4   

Vậy giá trị nhỏ nhất của M = 4 khi x = - 1

2 -------------------------------------------------

đề 2

Câu 1 . Tìm một số có 8 chữ số: thoã mãn 2 điều kiện a và b sau: 1 2 8 a a .. . a

a) b)  

2

8 7 1 2 3 a a a = a a  

3

4 5 6 7 8 7 8 a a a a a a a 

Câu 2 . Chứng minh rằng: ( xm + xn + 1 ) chia hết cho x2 + x + 1. khi và chỉ khi ( mn – 2) 3.  áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + 1. Câu 3 . Giải phương trình:

x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + 2006.2007).  

  

    2007 . 2006 . 2005

1 ... 4.3.2 1 3.2.1 1

A

B

D

M

E

C

K

ThuVienDeThi.com