Đề chọn học sinh giỏi Toán 8

Phòng GD-ĐT h.Lập Thạch - Vĩnh Phúc

ĐỀ CHỌN HSG TOÁN 8 Ngày thi : 05-5-2011 ( Thời gian làm bài 120 phút )

Bài 1 : (4 điểm)

1, Cho x,y thoả mãn . Tính .  

2 2 y x y 0 v x xy 2y à     3 y x

x A y   

2, Tính :

        2 2 2 2 2.1 1 2.2 1 2.3 1 2.99 1 ... 1. 1 1 2. 2 1 3. 3 1 99. 99 1 B                              Bài 2 : (4 điểm) 1, Tìm a,b sao cho chia hết cho đa thức 

3 2 f x ax bx 10x 4     

2 g x x x 2    2,Tìm số nguyên a sao cho là số nguyên tố 4 a 4  Bài 3 : (3 điểm)

Giải phương trình : 2 2

5 2 4 4 4 x x x x x      Bài 4 : (4 điểm) Cho hình thoi ABCD có góc ABC bằng 60 độ . Hai đường chéo cắt nhau tai O , E thuộc tia BC sao cho BE bằng ba phần tư BC , AE cắt CD tại F . Trên hai đoạn AB và CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho CG song song với FH .

1, Chưng minh rằng : 2 3 . 4 BG DH BC 

2, Tính số đo góc GOH Bài 5 : (3 điểm) Cho tan giác ABC ba điểm M,N,P lần lượt thuộc các cạnh BC,CA,AB sao cho

. Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm AP 1 & A 2 BM CN BM BC C AB BC   

Bài 6 : (2 điểm) Cho các số dương x,y,z thoả mãn điều kiện .Chứng minh rằng : 2 2 2 x + y +z =1

3 3 3 1 2 2 2 3 x y z y z z x x y      

HẾT.

gv: Nguyễn Quang Sáng (sưu tầm)

ĐÁP ÁN

Bài 1 : (4 điểm)

1, Từ:  

x y 0 y x y 0 y 0       

.    2 2 x xy 2y ... y x-2 0 x y       Vì .Nên y 0 x   x-2 0 x 2 y y   

Ta có : . 3.2 y 5 5 2y 3 3 y y A y y     

ThuVienDeThi.com

2, Tính :

        2 2 2 2 2.1 1 2.2 1 2.3 1 2.99 1 ... 1. 1 1 2. 2 1 3. 3 1 99. 99 1 B                             

Với , ta có 1 n 

 

     

2 2

2 2 2 2 2 1 2. 1 1 1

1 . 1 . 1

n n n

n n n n n n

            

Áp dụng vào bài toán ta có : 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 9999 ... 1 1 2 2 3 99 100 100 10000 B         

Bài 2 : (4 điểm) 1, Ta có : Vì chia hết cho đa thức     2 g x x x 2= x 1 x 2      

3 2 f x ax bx 10x 4     .Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x) 

2 g x x x 2   

   3 2 ax bx 10x 4= x-2 . x-1 .q x     Với  x=1 a+b+6=0 b=-a-6 1   Với  x=-2 2a-b+6=0 2  Thay (1) vào (2) . Ta có : a=2&b=4 2,Ta có :    4 2 2 a 4= a -2a+2 a +2a+2 

Vì 2 2 a c a -2a+2 c;a +2a+2 c    Có  

2 2 a +2a+2= a+1 1 1 a  

Và  

2 2 a -2a+2= a-1 1 1 a   Vậy là số nguyên tố thì hoặc 4 a 4  2 a +2a+2=1 2 a - 2a+2=1 Nếu thử lại thấy thoả mãn 2 a -2a+2=1 1 a   Nếu thử lại thấy thoả mãn 2 a +2a+2=1 1 a   Bài 3 : (3 điểm) Điều kiện : 2 x 

Với x = 0 không phải là nghiệm của phương trình 2 2

5 2 4 4 4 x x x x x     

Với phương trình trở thành 0 x  2 2

5 2 4 4 4 x x x x x     

. Đặt phương trình (*) trở thành  1 5 2 * 4 4 4 x x x x

    

4 2 y x x    1 5 2 2 2 y y    

Điều kiện : 2& 2 y y  

Phương trình trở thành   2 0 3 0 3 0 3 0 y y y y y y

         

Với y = 0 thì phương trình vô nghiệm  

2 2 4 2 0 2 4 0 1 2 0 x x x x x           

Với y = -3 thì thoả mãn điều kiện    2 1 4 2 3 5 4 0 1 4 0 4

x x x x x x x x

              Vậy tập nghiệm của phương trình là   1; 4 S  Bài 4 : (4 điểm)

1, Chứng minh đồng dạng BCG DHF

ThuVienDeThi.com