Đề thi học sinh giỏi cấp h uyện năm học 2013 2014 môn thi Toán 8

Phòng giáo dục Cẩm Thủy – Tỉnh Thanh hóa

PHÒNG GD&ĐT CẨM THỦY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP H UYỆN

NĂM HỌC 2013 – 2014

Môn thi: Toán 8 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 15 tháng 4 năm 2014

Câu 1 ( 5,0 điểm) Cho biểu thức

2 2

2 2 1 1 2 : 2 1 1 x x x x P x x x x x x                 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P

b) Tìm x để 1 2 P  

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 1

Câu 2 ( 6 điểm)

a) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho dư 10, f(x) chia cho dư 2 x  2 x  22, f(x) chia cho được thương là và còn dư 2 4 x  5x 

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì chia hết cho 6. 3 5 a a  c) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2012 2013 2014 0 x xy x y     

Câu 3 (3,0 điểm)

a) Cho và , tính giá trị của biểu thức: 0 a b c    0 abc 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 P b c a a c b a b c          a) Cho 2 số a và b thỏa mãn a 1; b 1. Chứng minh :  

ab b a      1

2 1

1 1

1

2 2 Câu 4 : (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.

a) Chứng minh : ∆OEM vuông cân. b) Chứng minh : ME // BN. c) Từ C kẻ CH BN ( H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng   hàng.

------------------HẾT-----------------

Họ và tên thí sinh:…………………………………………………SBD:…………

( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm )

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

Phòng giáo dục Cẩm Thủy – Tỉnh Thanh hóa

HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

Môn thi: Toán 8 Năm học: 2013 – 2014 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu Ý Đáp án Điểm

ĐKXĐ : 0 1

1

x x x

      Không có đk x -1 trừ 0,25đ 

0,5đ

   

2

2 1 ( 1)( 1) 2 : ( 1) ( 1) ( 1) 1

x x x x x x P x x x x x x x

                 0,5đ

   

2 2

2 1 1 2 : ( 1) 1

x x x x x P x x x

       0,5đ

a 2 đ

   

   

2

2 2 1 1 1 ( 1) : ( 1) 1 1 1 1

x x x x x x x x P x x x x x x

             0,5đ

với ĐKXĐ 1 2 P   

2 1 1 2 x P x

    x 0,25đ

2 2 1 x x   0,25đ

2 2 1 0 x x    0,25đ

2 2 2 1 0 x x x     0,25đ    2 1 1 0 x x     0,25đ

( TM ĐKXĐ) 1 2 x  

Hoặc x = - 1 ( không TM ĐKXĐ) (Nếu không loại x = - 1 trừ 0,25 điểm )

0,5đ

b 2 đ

Vậy 1 2 P   1 2 x  

0,25đ

   2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x P x x x x x              0,25đ

1 1 1 1 2 1 1 P x x x x        0,25đ

Câu 1( 5 điểm)

c 1 đ Vì x > 1 nên và > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 1 0 x  1

1 x  0,25đ

ThuVienDeThi.com

Phòng giáo dục Cẩm Thủy – Tỉnh Thanh hóa

số dương x – 1 và ta có: 1

1 x    1 1 1 2 1 2 1 1 x x x x       

Dấu “ = “ xẩy ra khi x – 1 = 1

1 x  ( x – 1)2 = 1  x – 1 = 1 ( vì x – 1 > 0 ) x = 2 ( TM ) Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi x = 2

0,25đ

Giả sử f(x) chia cho được thương là và còn dư là . 2 4 x  5x  ax b  Khi đó: 2 f ( ) ( 4).( 5 ) ax+b x x x    

0.5đ

Theo đề bài, ta có:

(2) 22 2 22 3 ( 2) 10 2 10 16 f a b a f a b b                     

0.5đ

Do đó: 2 f ( ) ( 4).( 5 ) 3x+16 x x x     0.5đ

a 2 đ

Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: 3 f ( ) 5 23 16. x x x    0.5đ

a3 + 5 a = a3 – a + 6a 0,5đ

= a(a2 – 1) + 6a 0,25đ

= (a-1)a(a+1)+ 6a 0,25đ

* (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 bội của 2 suy ra chia hết cho 2 0,25đ

* (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 bội của 3 suy ra chia hết cho 3 0,25đ

Vì (2;3) = 1 nên (a-1)a(a+1) chia hết cho 6 0,25đ

b 2 đ

* 6a chia hết cho 6 Vậy a3 + 5 a chia hết cho 6 0,25đ

2

2

2012 2013 2014 0

2013 2013 2013 1

x xy x y

x xy x x y

    

       0,5đ

( 1) 2013( 1) 1 ( 2013)( 1) 1 x x y x y x x y            1,0đ

Câu 2( 6 điểm)

c 2đ



2013 1

1 1

2013 1

1 1

x

x y

x

x y

                 

0,25đ

ThuVienDeThi.com