Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013 2014 môn Toán 8

UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2013 – 2014

MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (2,0 điểm).

1. Cho biểu thức

2

2 1 x x 2 2x 4 P x 2 x 7x 10 x 5          

a) Rút gọn biểu thức P;

b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P có giá trị nguyên.

2. Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 = 3abc

Bài 2. (2,0 điểm).

1. Tìm x, y, z biết x2 + y2 + z2 + 2x – 4y + 6z = -14.

2. Tìm các số nguyên dương n để số p = n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố.

Bài 3. (1,0 điểm).

Tìm nghiệm nguyên của phương trình 4x + 11y = 4xy

Bài 4. (2,5 điểm).

Cho hình vuông ABCD. Trên BC lấy điểm E, dựng  0 EAx 90  sao cho tia Ax cắt CD tại F. Gọi I là trung điểm của FE, AI cắt CD tại M. Qua E dựng tia Ey song song với DC cắt AI tại K.

a) Tam giác AFE cân tại A.

b) Tứ giác KFME là hình thoi.

Bài 5. (1,5 điểm).

Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB và AC, theo thứ tự lấy các điểm E và D sao cho

BE = CD. Gọi N, Q theo thứ tự là trung điểm của BD và CE. Gọi G và H lần lượt là giao điểm của NQ với AB và NQ với AC. Chứng minh tam giác AGH cân.

Bài 6. (1,0 điểm).

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 2 8x 12 M x 4   

--------Hết--------

ThuVienDeThi.com

UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI

Môn thi: Toán 8

Bài Đáp án Điểm

1a) ĐKXĐ : x  2 ; x  5.

2

2

2

2

2

1 x x 2 2x 4 P x 2 x 7x 10 x 5 1 x x 2 2x 4 x 2 (x 2)(x 5) x 5

x 5 x x 2 (2x 4)(x 2) (x 2)(x 5)

x 8x 15 (x 5)(x 3) x 3 (x 2)(x 5) (x 2)(x 5) x 2

                   

         

              

0,25

0,25

0,25

1b) Ta có x 3 (x 2) 1 1 P 1 x 2 x 2 x 2          

Để biểu thức P có giá trị nguyên khi và chỉ khi 1 x 2 

có giá trị nguyên

  1 (x 2) x 2 U(1) 1      

Khi x – 2 = 1  x = 3 (TMĐK)

Khi x – 2 = - 1  x = 1 (TMĐK)

Vậy   x 1; 3  thì biểu thức P có giá trị nguyên.

0,25

0,25

Bài 1

(2,0 điểm)

2) (a + b + c)3 = (a + b)3 + 3(a + b)2c + 3(a + b)c2 + c3

= (a + b)3 + 3(a + b)c.(a + b + c) + c3 = (a + b)3 + c3

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(a + b)

a3 + b3 + c3 + 3ab(- c) ( do a + b + c = 0 nên a + b = -c)

a3 + b3 + c3 + 3ab(-c) = 0 suy ra a3 + b3 + c3 = 3abc

0,25

0,25

0,25

1) x2 + y2 + z2 + 2x – 4y + 6z = -14

2 2 2

2 2 2 (x 2x 1) (y 4y 4) (z 6z 9) 0

(x 1) (y 2) (z 3) 0

         

      

Mà (x + 1)2  0 ; (y - 2)2  0 ; (z + 3)2  0

Suy ra : x = -1 ; y = 2 ; z = -3.

0,25

0,25

0,25

0,25

Bài 2

(2,0 điểm)

2) Phân tích được p = (n - 1)(n2 +1) 0,25

ThuVienDeThi.com

Nếu n = 1 thì p = 0, không phải là số nguyên tố.

Nếu n = 2 thì p = 5, là số nguyên tố.

Với mọi số tự nhiên n  3 thì n -1  2; n2+1  10  p có 2 ước lớn hơn 1

Suy ra p là hợp số .

Vậy n = 2 là giá trị phải tìm.

0,25

0,25

0,25

Bài 3

(1,0 điểm)

4x + 11y = 4xy  (4x – 11)(y – 1) = 11

Vì x, y là các số nguyên nên 4x – 11 và y – 1 là ước của 11

Ta có bảng giá trị:

4x – 11 - 11 - 1 1 11

y – 1 - 1 - 11 11 1

x 0 x Z  3 x Z 

y 0 -10 12 2

Vậy nghiệm nguyên của phương trình : (x, y) = (0 ; 0), (3 ; 12).

0,25

0,25

0,25

0,25

Hình vẽ đúng

y K

M

I

x

F

E

D C

B A

a) - Chứng minh ABE = ADF (g.c.g)

Suy ra AE = AF hay AFE cân tại A

0,5

0,5

Bài 4

(2,5 điểm)

b) - Chứng minh IKE = IMF (g.c.g)

Suy ra IK = IM

Ta có: IK = IM; IE = IF nên tứ giác KFME là hình bình hành.

Tam giác AFE cân nên trung tuyến AI cũng là đường cao tức là AM  FE.

Hình bình hành KFME có KM  FE

Nên KFME là hình thoi.

0,5

0,25

0,5

0,25

ThuVienDeThi.com