Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8 môn Toán

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8

Môn: Toán (Thời gian làm bài 120 phút)

Câu 1:(3 điểm)

a) Cho biểu thức . Chứng minh rằng nếu 2 2 2 2 2 2 4 4 4 A 2a b 2b c 2a c a b c      

là 3 cạnh của một tam giác thì >0. a,b,c A

b) Chứng minh rằng ( . 5 a a 30  ) a Z 

Câu 2:(2 điểm)

Giải phương trình . 2 2 2 x 2xy y 3x 2y 1 4 2x x 3x 2          

Câu 3(1,5 điểm)

Cho . Chứng minh rằng . 3 3 a b 2   a b 2  

Câu 4:(1,5 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB // CD), hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Một

đường thẳng d qua O song song với 2 đáy cắt 2 cạnh bên AD, BC lần lượt tại E và F.

Chứng minh rằng . 1 1 2 AB CD EF  

Câu 5 (2 điểm)

Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC

sao cho AN=CM. Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh rằng KD là tia phân

giác của . AKC 

-----------------------------------Hết--------------------------------------

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh…………………………………………..SBD:…………….

ThuVienDeThi.com

Hướng dẫn chấm Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8

năm học 2007-2008

Môn: Toán (Thời gian làm bài 120 phút)

Câu Nội dung Điểm

1

a) = 4 - ( 2 2 2 2 2 2 4 4 4 A 2a b 2b c 2a c a b c       2 2 a b 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2a b 2b c 2a c a b c )     

= - ( = )( - ) 2 (2ab) 2 2 2 2 a b c )   (2ab  2 2 2 a b c   2ab

2 2 2 a b c  

= = 2 2 (a b) c      

2 2 c (a b)       (a b c)(a b c)(c a b)(c a b)        

Do là 3 cạnh của 1 tam giác nên a,b,c

a b c 0;a b c 0;c a b 0;c a b 0             A 0  

b) = 5 4 2 2 a a a(a 1) a(a 1)(a 1)       2 a(a 1)(a 1) (a 4) 5        

=a(a 1)(a 1)(a 2)(a 2)     5a(a 1)(a 1)   

Do tích của năm số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5 và trong năm số nguyên liên

tiếp luôn có ba số nguyên liên tiếp mà tích của chúng chia hết cho 6 và do (6;5)=1.

Suy ra và 30. Vậy a(a 1)(a 1)(a 2)(a 2)     30  5a(a 1)(a 1)   

5 a a 30 

0,25

0,5

0,5

0,25

0,5

0,25

0,5

0,25

2

2 2 2 x 2xy y 3x 2y 1 4 2x x 3x 2          

(1) 

2 (x y 1) x 2 (x 1)(x 2) 2x 4         

Do 2 (x y 1) x 2 (x 1)(x 2) 0         x, y  2x 4 0 2(x 2) 0 x 2        

Với thì ; . x 2 

2 2 (x y 1) x 2 (x y 1) x 2          (x 1)(x 2)    2 x 3x 2  

Khi đó từ phương trình (1) + = =  2 (x y 1) x 2     (x 1)(x 2)   2(x 2)   2 (x y 1)  

= . (x 2)(2 x 1 1)    2 (x 2)  

+ =0 và ( thoả mãn)  2 (x y 1)   2 (x 2)  x 2 0   x y 1 0   x 2;y 3   

Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là S=     2;3

0,5

0,25

0,25

0,25

0,5

0,25

ThuVienDeThi.com

3

Giả sử (do ) a b 2   3 3 3 3 (a b) 2 a b 3ab(a b) 8         2  3ab(a b) 8  

3 3 a b 2  

> (do ) 3ab(a b) 6 ab(a b) 2      ab(a b) 

3 3 a b  3 3 a b 2  

> ab(a b)  2 2 (a b)(a ab b )    2 2 ab a ab b     2 2 2 a 2ab b 0 (a b) 0       

(vô lý ) . Vậy a b 2  

0,5

0,5

0,5

4

Xét có OE//AB (Hệ quả của định lý Ta lét) (1) ABD A OE OD AB DB  

Xét có OF//DC (Hệ quả của định lý Ta lét) (2) ABC A OF OB CD BD  

Xét có OF//AB (Hệ quả của định lý Ta lét) (3) ABC A OF OC AB AC  

Xét có OE//DC (Hệ quả của định lý Ta lét) (4) ABD A OE AO DC AC  

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra : + + + = + + + OE AB  OF CD

OF AB

OE DC

OD

DB

OB BD

OC AC

AO AC

+ + + = + + + OE

AB

OF AB

OF CD

OE DC

OD

DB

OB BD

OC AC

AO AC

+ = + + =2 + = EF

AB

EF DC

BD BD

AC AC EF

AB

EF DC  1 AB

1 DC

2 EF

O

A

D

B

C

E F

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

5

Kẻ DI, DJ lần lượt vuông góc với AK, CK.

Ta có = ( do chung đáy AD, cùng chiều cao hạ từ N) (1) AND

1 S AN.DI 2  ABCD 1 S 2

= ( do chung đáy CD, cùng chiều cao hạ từ M) (2) CDM

1 S CM.DJ 2  ABCD 1 S 2

Từ (1) và (2) suy ra: = DI=DJ (do AN=CM) 1 AN.DI 2

1 CM.DJ 2 

0,25

0,5

0,5

0,25

ThuVienDeThi.com