Đề kiểm tra học sinh giỏi năm học 2009 - 2010 môn Toán

- 1 -

đề kiểm tra học sinh giỏi

Năm học 2009-2010

Môn: Toán Thời gian: 120 phút đề bài: Bài 1( 6 điểm): Cho biểu thức:

P =

2

2 2 2 2 3 2 8 3 21 2 8 : 1 4 12 5 13 2 20 2 1 4 4 3 x x x x x x x x x x x                     a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P khi 1 2 x 

c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. d) Tìm x để P > 0. Bài 2(3 điểm):Giải phương trình:

a) 2

15 1 1 1 12 3 4 4 3 3 x x x x x            

b)

148 169 186 199 10 25 23 21 19 x x x x        

c) 2 3 5 x   

Bài 3( 2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Một người đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó. Bài 4 (7 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P.

a) Tứ giác AMDB là hình gì? b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng minh EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng. c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.

d) Giả sử CP BD và CP = 2,4 cm, . Tính các cạnh của hình chữ  9 16 PD

PB 

nhật ABCD. Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010 b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

2 2 1 1 2 1 1 1 x y xy     

ThuVienDeThi.com

- 2 -

đáp án và biểu điểm Bài 1: Phân tích: 4x2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5) 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x) 21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 4x2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5®

Điều kiện: 0,5® 1 5 3 7 ; ; ; ; 4 2 2 2 4 x x x x x      

a) Rút gọn P = 2® 2 3 2 5 x x

 

b) hoặc 1 2 x  1 2 x   1 2 x  

+) … P = 1 2 x   1 2

+) …P = 1® 1 2 x    2 3

c) P = = 2 3 2 5 x x

 

2 1 5 x   Ta có: 1 Z 

Vậy P khi Z  2

5 Z x   x – 5 ¦(2)   Mà ¦(2) = { -2; -1; 1; 2} x – 5 = -2 x = 3 (TMĐK)  x – 5 = -1 x = 4 (KTMĐK)  x – 5 = 1 x = 6 (TMĐK)  x – 5 = 2 x = 7 (TMĐK)  KL: x {3; 6; 7} thì P nhận giá trị nguyên. 1® 

d) P = = 0,25® 2 3 2 5 x x

 

2 1 5 x   Ta có: 1 > 0

Để P > 0 thì > 0 x – 5 > 0 x > 5 0,5® 2

5 x   

Với x > 5 thì P > 0. 0,25 Bài 2:

a) 2

15 1 1 1 12 3 4 4 3 3 x x x x x            

ĐK:      15 1 1 1 12 4 1 4 3 1 x x x x x

               4; 1 x x  

ThuVienDeThi.com

- 3 -

3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4)  …

3x.(x + 4) = 0 

3x = 0 hoặc x + 4 = 0  +) 3x = 0 => x = 0 (TMĐK) +) x + 4 = 0 => x = -4 (KTMĐK) S = { 0} 1®

b)

148 169 186 199 10 25 23 21 19 x x x x        



148 169 186 199 1 2 3 4 0 25 23 21 19 x x x x                                    

(123 – x) = 0 

1 1 1 1 25 23 21 19         

Do > 0 1 1 1 1 25 23 21 19          Nên 123 – x = 0 => x = 123 S = {123} 1®

c) 2 3 5 x   

Ta có: => > 0 2 0 x x   2 3 x  

nên 2 3 2 3 x x     

PT được viết dưới dạng:

2 3 5 x   

= 5 – 3  2 x 

= 2  2 x 

+) x - 2 = 2 => x = 4 +) x - 2 = -2 => x = 0 S = {0;4} 1® Bài 3(2 ®) Gọi khoảng cách giữa A và B là x (km) (x > 0) 0,25® Vận tốc dự định của người ® xe gắn máy là:

(3h20’ = ) 0,25® 3 ( / ) 1 10 33

x x km h   1 33 h

Vận tốc của người đi xe gắn máy khi tăng lên 5 km/h là:

0,25®   3 5 / 10

x km h 

Theo đề bài ta có phương trình:

ThuVienDeThi.com