Xem trước nội dung
ĐỀ THI HSG LỚP 8 Năm học 2010 – 2011
Bài 1: Cho biểu thức M = :
2 1 3 6
6 4 3
2
x x x x
x
2 10 2
2
x
x x
a) Rút gọn M
b)Tính giá trị của M khi = x 2 1
Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử. b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0.
Bài 3:
a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : A = x2 - 2xy + 2y2 - 4y + 5
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau :
B = 1 )1 ( 3
2 3
x x x
x
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD . Với AB = a ; AD = b. Từ đỉnh A , kẻ một đường thẳng a bất kỳ cắt đường chéo BD tại E, cắt cạnh BC tại F và cắt tia DC tại G.
a) Chứng minh: AE2 =EF.EG
b) Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG không đổi.
Bài 5. Chứng minh rằng nếu Với x y ; xyz 0 ; yz 1 ; xz 1. ) 1( ) 1(
2 2
xz y
xz y yz x
yz x
Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)
ThuVienDeThi.com
Giải Bài 1: a) Rút gọn M
M= : = :
2 1 3 6
6 4 3
2
x x x x
x
2 10 2
2
x
x x
2 1 ) 2 ( 3
6 ) 2 )( 2 (
2
x x x x x
x
2 6 x
M = = 6
2 .) 2 )( 2 (
6
x x x x 2
1
b)Tính giá trị của M khi = x 2 1
= x = hoặc x = - x 2 1 2 1
2 1
Với x = ta có : M = = = 2 1
2 1 2
1
2 3 1
3 2
Với x = - ta có : M = = = 2 1
2 1 2
1
2 5 1
5 2
Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử. Ta có : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2 + c2 - a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a) b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0. Ta có: (b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác)
(b+c +a) >0 ( BĐT trong tam giác) (b-c -a) <0 ( BĐT trong tam giác) (b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác) Vậy A< 0 Bài 3: a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : A = x2 - 2xy + 2y2 - 4y + 5 Ta có : A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y +4 + 1 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 1 Do (x-y)2 0 ; (y - 2)2 0 Nên A= (x-y)2 + (y - 2)2 + 1 1 Dấu ''='' xãy ra x = y và y = 2 Vậy GTNN của A là 1 x = y =2 b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau :
B = = = = 1 )1 ( 3
2 3
x x x
x
1 )1 (
)1 ( 3
2
x x x
x
)1 )( 1 (
)1 ( 3
2
x x
x
1 3
2 x
Do x2 +1>0 nên B = 3. Dấu ''='' xãy ra x = 0 1 3
2 x
Vậy GTLN của B là 3 x = 0
ThuVienDeThi.com
Bài 4: a) Chứng minh: AE2 =EF.EG Do AB//CD nên ta có:
= (1) ED
EB EG
EA DG
AB
Do BF//AD nên ta có:
= (2) ED
EB EA EF FB AD
Từ (1) và (2) Hay AE2 = EF. EG EA EF EG
EA
b). CMR khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG không đổi.
Từ (1) và (2) Hay BF.DG = AB.AD = ab (không đổi) AD FB DG
AB
Bài 5: Chứng minh rằng nếu Với x y ; xyz 0 ; yz 1 ; xz 1. ) 1( ) 1(
2 2
xz y
xz y yz x
yz x
Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)
Từ GT (x2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y2 - xz)
x2y- x3yz-y2z+xy2z2 = xy2 -x2z - xy3z +x2yz2
x2y- x3yz - y2z+ xy2z2 - xy2 +x2z + xy3z - x2yz2 = 0
xy(x-y) +xyz(yz +y2- xz - x2)+z(x2 - y2) = 0
xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0
(x -y) = 0 yz xz z y x xyz xy ) ( Do x - y 0 nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = 0 Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm)
Hoàng Minh NGụ Trường trung học cơ sở Phong Bắc
E
F
A B
D C G
ThuVienDeThi.com
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
