Đề thi chọn lọc học sinh giỏi lớp 8 THCS năm học 2008 - 2009

trường Thcs Ninh dương

----------***---------

Đề thi chọn lọc học sinh giỏi

Lớp 8 thcs năm học 2008- 2009

------------------------------ đề thi chính thức Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1: a) Tìm các số nguyên m, n thoả mãn 1

1 2



   n

n n m

b) Đặt A = n3 + 3n2 + 5n + 3 . Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giá

trị nguyên dương của n.

c) Nếu a chia 13 dư 2 và b chia 13 dư 3 thì a2+b2 chia hết cho 13.

Câu2 : Rút gọn biểu thức:

a) A= + + ) )( ( c a b a

bc

  ) )( ( a b c b

ca

  ) )( ( b c a c

ab

 

b) B =

3 3 3

6 6 6

1 1

2 1 1

x x x x

x x x x

        

               

Câu 3: Tính tổng: S = + + + … + 3.1 1

5.3 1

7.5 1

2009 . 2007

1

Câu 4: Cho 3 số x, y, z, thoả mãn điều kiện xyz = 2009. Chứng minh rằng biểu thức

sau không phụ thuộc vào các biến x, y, z :

1 2009 2009 2009

2009

        z xz

z y yz

y x xy

x

Câu 5: Giải phương trình:

5 49 51 47 53 45 55 43 57 41 59            x x x x x

Câu 6: Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một góc xMy bằng 600

quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E

. Chứng minh :

a) BD.CE= 4

2 BC

b) DM,EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED.

c) Chu vi tam giác ADE không đổi.

ThuVienDeThi.com

Đáp án và biểu điểm

Câu Sơ lược lời giải Biểu điểm 1

a, Thực hiện chia = n + 1

1 2



   n

n n m

1 1

 n

0.5

Để m nguyên với n nguyên khi n + 1 là ước của 1 0.5 Hay n + 1 1; -1 . Khi đó : n+1 = 1  n = 0 Z ( t/m) n+ 1 = -1  n = -2  Z (t/m) Với n = 0  m = 1 . Với n = -2  m = - 3 . Vậy ... 0.5 b, A = n3 + 3n2 + 3n +1 + 2n +2 = (n+ 1) 3 +2(n+1) = .. = n ( n +1) (n+ 2) + 3( n+1) 0.5 Khi đó : 3(n+1) chia hết cho 3 n( n +1) (n+ 2) là tích của 3 số nguyên dương liên tiếp nên tồn tại .. 0.5 c, a = 13k +2, b= 13n +3 0.5 a2+b2 = ( 13k +2 )2 + ( 13n+ 3) 2 =....= 13( 13k2 +4k +13 n2 +4n +1) 1 2 a, A = 1, b, B = ) 1 ( 3 x x  4

3 S = 2009 1004 ) 2009

1 1( 2 1 ) 2009

1 2007

1 ..... 5 1 3 1 3 1 1( 2 1          2

4 + + xy x x

 2009 2009

2009

yz y xyz

y

  zx z

z

  1

= + + = = 1. )1 (

.

 z xz xy

xz xy

zx z   1

1

zx z

z

  1 zx z

xz z

 

  1 1

2

5 0 1 49 51 1 47 53 1 45 55 1 43 57 1 41 59                x x x x x 0.5

...... (100 – x) = 0 ) 49

1 47

1 45

1 43

1 41

1 (     1

 100- x = 0 ( vì >0  x = 100. ) 49

1 47

1 45

1 43

1 41

1 (     0.5

6 Vẽ hình a,Chứng minh đồng dạng BMD  CEM 

... Vì BM=CM= , nên ta có BD.CE= 2 BC

4

2 BC

b, Chứng minh va đồng dạng BMD  MED 

Từ đó suy ra , do đó DM là tia phân giác của góc BDE 2 1 ˆ ˆ D D 

Chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của góc CED c, Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC

Chứng minh DH = DI, EI = EK. Chu vi bằng 2.AH . Kết luận.

0,5

2.5

1.5

1.5

Chú ý: Có nhiều cách khác nhau , nhưng có chung 1 kết quả.

3 2 1

2 1

x

y

E

D

M C B

A

ThuVienDeThi.com