Đề thi thông tin chọn học sinh giỏi lớp 8 năm học 2008 2009 môn Toán

TRƯỜNG THCS NAM ĐÀ

Đề thi thông tin chọn học sinh giỏi lớp 8 năm học 2008 – 2009 Họ tên : ........................................... Lớp :……... Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 ( 2,0 điểm) Giải phương trình : x(x+2)(x2+2x+5) = 6 Câu 2 : ( 4,0 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức : A = x8 – 31x7 + 31x6 – 31x5 +31x4 – 31x3 + 31x2 – 31x + 27 với x = 30 b) Cho a - b = 4 tính giá trị của biểu thức B = a3 – 12ab - b3 Câu 3 : ( 2,0 điểm)

Rút gọn phân thức :

3 2

3 2 2 7 12 45 3 19 33 9 a a a a a a       Câu 4 : ( 3,5 điểm) Một người đi một nữa quãng đường tử A đến B với vận tốc 15km/h , và đi phần còn lại với vận tốc 30km/h . Tính vận tốc trung bình của người đó trên toàn bộ quãng đường AB . Câu 5 : ( 2,0 điểm) Chứng minh rằng :

a) S với S là diện tích của tam giác có độ dài hai cạnh bằng a , b .

2 2

4 a b  

Câu 6 :( 6,5 điểm) Cho tam giác IKP cân tại A có KP = 4 cm , M là trung điểm của KP lấy D, E thứ tự thuộc các cạnh IK , IP sao cho . ˆ ˆ DME K  a) Chứng minh rằng tích KD . PE không đổi . b) Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc KDE . c) Tính chu vi IED nếu IKP là tam giác đều .  

------------- ------------- ( Giám thị không giải thích gì thêm )

ThuVienDeThi.com

hướng dẫn chấm thi môn toán kỳ thi thông tin chọn học sinh giỏi lớp 8 THCS năm học 2008-2009

Câu 1 (4,0 điểm)

Tóm tắt lời giải Điểm

a) Ta có A = x6 – 19x5 + 19x4 – 19x3 +19x2 – 19x + 25

= x5 ( x – 18 ) – x4( x- 18 ) + x3 ( x-18) – x2( x-18) + x(x- 18) - ( x – 18 ) + 7 Do đó với x = 18 thì giá trị của biểu thức A = 7 .

b) Với x+y = 1 ta có : B = ( x3 + y3 )+ 3xy = ( x +y ) ( x2 - xy +y2) + 3xy = x2 +2xy +y2

= ( x+y )2 = 1

1,00 1,00

1,00

1,00

Câu 2 (4,0 điểm)

Tóm tắt lời giải Điểm

a) ta có = =

3 2

3 2 2 7 12 45 3 19 33 9 x x x x x x      

3 2 2

3 2 2 (2 5 ) (12 30 ) (18 45) (3 ) (18 6 ) (27 9) x x x x x x x x x x          

= = =

2

2 (2 5) 6 (2 5) 9(2 5) (3 1) 6 (3 1) 9(3 1) x x x x x x x x x x          

2

2 (2 5)( 6 9) (3 1)( 6 9) x x x x x x      

2

2 (2 5)( 3) (3 1)( 3) x x x x    

= 2 5 3 1 x

x

 

b) Giải phương trình : (x2-x+1)(x2-x+2) = 12 (1) Đặt t = x2-x+1 thay vào phương trình (1) ta được pt : t ( t+1 ) = 12 t2 + t – 12 = 0 ( t2 - 3t ) + (4t – 12) = 0 t( t - 3) + 4(t – 3) = 0    (t - 3) (t+ 4) = 0 t = 3 hoặc t = - 4   - Với t = 3 => x2-x+1 = 3 x2-x-2 = 0 x2-2x + x -2 = 0   x(x-2) + (x -2 ) = 0 (x-2) (x +1 ) = 0 x = 2 hoặc x = - 1   

- Với t = - 4 => x2-x+1 = - 4 x2-x + 5 = 0 ( x- ) 2 + = 0 phương trình này   1 2

19

4

vô nghiệm vì ( x- ) 2 + > 0 với mọi x . 1 2

19

4 Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là : x = 2 , x = -1

1,00

0,50

0.50

0.50

0.75

0.25

0.25

0.25

ThuVienDeThi.com

Câu 3 : ( 4,5 điểm )

Gọi vận tốc mà « tô dự định đi từ A đến B là : x ( điều kiện : x(km/h ) , x > 6 ). Ta có : Vận tốc « tô đi nữa đầu quãng đường là : x+10 ( km/h ) Vận tốc « tô đi nữa sau quãng đường là : x – 6 (km/h )

Thời gian « tô đi nữa đầu quãng đường là : (h) 30

10 x 

Thời gian « tô đi nữa sau quãng đường là : (h) 30

6 x 

Thời gian « tô đi quãng đường từ A đến B là : (h) 60

x

Ta có phương trình : + = 30

10 x 

30

6 x 

60

x 

+ = ( 6) ( 10)( 6) x x x x x   

( 10) ( 10)( 6) x x x x x   

2( 10)( 6) ( 10)( 6) x x x x x     => x2 – 6x + x2 + 10x = 2x2 + 8x – 120 x2 – 6x + x2 + 10x - 2x2 - 8x = -120  4x = 120 x = 30 ( km/h )  

Vậy thời gian « tô dự định đi quãng đường AB là : = 2 ( giờ ) 60 30

0.50

1.00

0.75

0.75

0.50

0.50

0.50

Câu 4 (3,5 điểm)

Tóm tắt lời giải Điểm HS vẽ hình và ghi GT,KL đúng

K

E H

I

D

M C B

A

a) Ta có , mặt khác , mà nên ˆ ˆ ˆ DMC DME CME   ˆ ˆ ˆ DMC B BDM   ˆ ˆ DME B  . ˆ ˆ CME BDM  Do đó BDM và CME đồng dạng ( gg ) .  

=> => BD . CE = CM . BM = a . a = a2 BD BM CM CE 

Vậy tích BD . CE luôn không đổi .

b) BDM và CME đồng dạng còn suy ra : =>   DM BD ME CM  DM BD ME BM 

( vì CM = BM ) Do đó DME và DBM đồng dạng => hay DM là tia phân giác của   ˆ ˆ …