Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường năm học 2016 - 2017 môn Toán lớp 8

TRƯỜNG THTH SÀI GÒN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Năm học : 2016 - 2017

Môn Toán : Lớp 8

Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (3,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) b) 3 2 x 5x 8x 4    2 2 2 2 2 (x y 5) 4x y 16xy 16     

Bài 2 (4,0 điểm)

a) Cho hai đa thức A = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 2017; B = 2 x 10x 21  

Tìm số dư trong phép chia của đa thức A cho đa thức B.

b) Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau và khác 0 thỏa mãn:

. Tính giá trị của biểu thức P = (a + b)(b + c)(c + a) 2 2 2 a b b c c a   

Bài 3 (4,0 điểm)

a) Giải phương trình sau: 2 x 3x 2 x 1 0   

b) Cho a > 0, b > 0 và a + b = 1. Chứng minh rằng 1 1 4 a 1 b 1 3    

Bài 4 (3,5 điểm) Cho ABC có AH là đường cao(H nằm giữa B và C), AB = 6 cm, BH = 3,6 cm,

CH = 6,4 cm. Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho BI = BA.

a) Chứng minh: ABC vuông.

b) Chứng minh: AI là phân giác của góc HAC.

Bài 5 (3,5 điểm) Cho ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn thẳng DB, DC lấy

các điểm E và F sao cho . Kẻ EH  AB tại H, FK  AC tại K. A A EAD FAD 

a) Chứng minh: . b) Chứng minh: . AE EH AF FK 

2 2 AC AB CE.CF BE.BF 

Bài 6. (2,0 điểm) Hai người đi mua gạo. Người thứ nhất mua gạo nếp, người thứ hai mua gạo tẻ. Giá

gạo tẻ rẻ hơn giá gạo nếp là 20%. Biết khối lượng gạo tẻ người thứ hai mua nhiều hơn khối lượng gạo

nếp là 20%. Hỏi người nào trả tiền ít hơn? ít hơn mấy % so với người kia?

HẾT

ThuVienDeThi.com

GIẢI TÓM TẮT Bài 1. a) 2 (x 1)(x 2)   b) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (x y 5) 4x y 16xy 16 (x y 5) (2xy 4) (x y 5 2xy 4)(x y 5 2xy 4)                  2 2 [(x y) 9][(x y) 1] (x y 3)(x y 3)(x y 1)(x y 1)           Bài 2. a) (với 2 2 A (x 10x 16)(x 10x 24) 2017 (t 4)(t 4) 2017           2 x 10x 20 t)    . Vậy số dư trong phép chia của đa 2 2 A (t 16) 2017 t 1 2002 (t 1)(t 1) 2002 B(t 1) 2002             thức A cho đa thức B là 2002. b) Với , ta có . a b;b c và c a    2 2 2 2 a b b c a b b c (a b)(a b) b c        Tương tự nên (b c)(b c) c a và (c a)(c a) a b      

(b c)(c a)(a b) (a b)(a b)(b c)(b c)(c a)(c a) (b c)(c a)(a b) P (a b)(b c)(c a) 1 (a b)(b c)(c a)                        Bài 3. a) (1) 2 x 3x 2 x 1 0 (x 1)(x 2) x 1 0        • Nếu , ta có: x 1 0 x 1   (thỏa ) (1) (x 1)(x 2) (x 1) 0 (x 1)(x 1) 0 x 1 0 x 1            x 1  • Nếu , ta có: x 1 0 x 1  

(không thỏa ) x 1 0 x 1 (1) (x 1)(x 2) (x 1) 0 (x 1)(x 3) 0 x 3 0 x 3                     x 1 

Vậy nghiệm là 1. b) Với a > 0, b > 0 và a + b = 1  a + 1 > 0, b + 1 > 0, ta có

(đúng) 1 1 4 3(b 1 a 1) 4(a 1)(b 1) 3.3 4(ab a b 1) 9 4ab 8 1 4ab a 1 b 1 3               (do ) 1 a b 2 ab 1 4ab  

Bài 4. a) • BC = 3,6 + 6,4 = 10 cm và , chung BA 6 3 3,6 BH BC 10 5 6 BA     AB

 BAC ~ BHA(c.g.c) mà BHA vuông tại H nên BAC vuông tại A. (hoặc tính AH, AC rối dùng Pi-ta-go đảo) b) (cùng phụ hai góc bằng nhau) A A A A 1 2 BAI BIA A A   

Bài 5. a) nên AHE ~ AKF  A A HAE KAF  AE EH AF FK 

b) • Vẽ đường thẳng đi qua B và song song với AC cắt AE, AF lần lượt tại I, J  và A J FAC   A A BIA EAC  mà A A EAC FAB  A A BIA FAB   • JAB ~ AIB(g.g)



2 2

2 AB JB AB IB JB AB IB.JB . IB AB AC AC AC     

mà nên IB BE JB BF và AC CE AC CF  

2 2 2

2 AB BE BF AC AB . CE CF CE.CF BE.BF AC   

Cách khác:

• (1) AEB AFB

AFC AEC

1 1 h.BE. h.BF S .S BE.BF 2 2 S .S 1 1 CF.CE h.CF. h.CE 2 2

 

• AEB AFB

AFC AEC

1 1 EH.AB. FN.AB S .S 2 2 S .S 1 1 FK.AC. EM.AC 2 2



, kết hợp (1)  (2)

2

2 EH.FN.AB FK.EM.AC 

2

2 EH.FN.AB BE.BF CF.CE FK.EM.AC 

1 2

A

B C H I

I

J

H

K

F E D C B

A

h

M

N

A

B C D E F

K

H

ThuVienDeThi.com