Đề thi học sinh giỏi Toán - Trường THCS Dân Hoà

Trường THCS Dân Hoà

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN

Thời gian: 150 phút

Câu 1: (6điểm)

Cho P =  

  





    

  





  



xy

xy y x xy

y x

xy

y x

1

2 1 : 1 1 a, Rút gọn P

b, Tính giá trị của P với x=

3 2

2  c, Tìm giá trị lớn nhất của P C©u 2: (4 điểm)

a) Giải phương trình - =3 x x    6 3 ) 6 )( 3 ( x x   b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + y2 = xy + x + y. Câu 3: ( 4 điểm)

a) Cho và . Chứng minh rằng : . 1 x y z a b c    0 a b c x y z   

2 2 2

2 2 2 1 x y z a b c   

b) Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác . CMR P= + + bc a  2

1

ac b  2

1

ab c  2

1

abc

c b a

2

  

C©u 4: (5đ) Cho đường tròn tâm (O) đường kính CD = 2R . Điểm M di động trên đoạn OC . Vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính MD . Gọi I là trung điểm của đoạn MC , đường thẳng qua I vuông góc với CD cắt (O) tại E và F . Đường thẳng ED cắt (O’) tại P .

1. Chứng minh 3 điểm P, M , F thẳng hàng. 2. Chứng minh IP là tiếp tuyến của đường tròn (O’). 3. Tìm vị trí của M trên OC để diện tích tam giác IPO’ lớn nhất. C©u 5:(1đ) Tìm các số nguyên x, y ,z thỏa mãn :

6 . 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 3 ) 1 ( xyz xyz x z z y y x       

......Hết.......

Người duyệt đề Người ra đề

Nguyễn Thị Hà Trần Thị Thuý Hoa

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HSG TOÁN 9

Câu 1: (6 điểm)

Cho P=  

  





    

  





  



xy

xy y x xy

y x

xy

y x

1

2 1 : 1 1 a, Rút gọn P (2 điểm) Điều kiện để P có nghĩa là : x 0  ; y 0 ; xy 1  (0,5 đ) Ta có :

P=  

  





    

  





  



xy

xy y x

xy

y x

xy

y x

1

2 1 : 1 1

=        xy

xy y x xy xy xy

xy y x xy y x



     

    

1

2 1 : 1 1

1 1 (0,5đ)

= xy

xy y x xy

x y y x y x x y y x y x



   

      

1

1 : 1

=    1 1

1 1

2 2

 

  

y x

xy xy

x y x (0,5đ)

=      x x y x

y x

   



1

2 1 1

1 2 (0,5đ)

b, Tính giá trị của P với x=

3 2

2  (1,5điểm)

Ta thấy x=

3 2

2  thoả mãn điều kiện x0 (0.25đ)

Ta có : x=

3 2

2  =      3 2 3 2

3 2 2

 

 =4-2 3 =( 3 -1)2 (0,5đ)

Thay x vào P = 1 2

 x

x , ta có:

P=  

3 2 5

1 3 2

1 3 2 4

1 3 2

2



   

 =       3 2 5 3 2 5

3 2 5 1 3 2

 

  (0,5đ)

=   

2 2 3 2 5

3 2 5 6 3 5 2



   =   12 25

1 3 3 2



 =   13

1 3 3 2  (0,25đ)

c, Tìm giá trị lớn nhất của P (2 điểm) Với mọi x0, ta có:

  0 1

2   x (0,25đ)

 0 1 2 2

   x x  x+1 x 2  (0,5đ)

 1 x x  1

2 ( vì x+1>0) 0.25đ)

ThuVienDeThi.com

 1 1

2  x

x (0,25đ)

 P 1  Vậy giá trị lớn nhất của P =1    0 1

2   x 0.25đ  0 1   x  1  x  x=1 (0,5đ)

C©u 2: (4 điểm) a)(2 điểm) ĐK : -3 x 6 (0,25đ)   Đặt =t >0 (0,25đ) x x    6 3

Suy ra t2=3+x+6-x+2 = (0,25đ) ) 6 )( 3 ( x x    ) 6 )( 3 ( x x   2

9 2  t

Ta có pt: t- =3 t2-2t-3=0 t=-1 (loại) hoặc t=3 (0,25đ) 2

9 2  t  

t=3 suy ra =3 ... x=-3 hoặc x=6 (0,5đ) x x    6 3   b) (2đ) x2 + y2 = xy + x + y  (x - y)2 + (x - 1)2 + (y - 1)2 = 2. Vì x, y Z nên :

x+y 0 0 0 0 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 x-1 1 -1 1 -1 0 0 1 -1 0 0 1 -1 y-1 1 1 -1 -1 1 -1 0 0 1 -1 0 0 (x;y)

(2;2)

(0;0)

(1;0)

(2;1)

(1;2)

(0;1)

0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

0, 5đ

Câu 3:(4đ) a) (2đ)

Từ 1 x y z a b c    

2

1 x y z a b c         



2 2 2

2 2 2

2 2 2 1 x y z xy xz yz a b c ab ac bc      

(1) (1đ) 

2 2 2

2 2 2

2 2 2 1 x y z cxy bxz ayz a b c abc abc abc      

Từ (2) (0,5đ) 0 a b c x y z     0 ayz+bxz+cxy=0 ayz bxz cxy xyz xyz xyz    

Từ(1) và (2) (0,5đ) 

2 2 2

2 2 2 1 x y z a b c   

b)(2đ) Do a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên a,b,c>0 (0,25đ)

Theo bất đẳng thức COSI: a2+bc 2a (0,5đ)  bc  bc a  2

1 

bc a 2

1

Tương tự: ; (0,5đ) ac b  2

1 

ac b 2

1

ab c  2

1 

ab c 2

1

ThuVienDeThi.com