Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8 năm học 2009 - 2010 môn thi Toán

Phòng giáo dục và đào tạo Huyện nga sơn

Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8

năm học 2009 - 2010

Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút

Đề bài:

Câu 1 (4 điểm): Cho biểu thức A=

2 3

2 2 2 1 1 2 16 16 4 : 1 2 1 2 4 1 4 4 1 x x x x x x x x x x

                a. Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. b. Rút gọn biểu thức A. c. Tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị dương.

Câu 2 (4 điểm): Giải các phương trình:

a. (x + 2)(x2 – 3x + 5) = (x + 2) x2

b.

2

2 8 2 1 8 3(1 4 ) 6 3 4 8 x x x x x x      

Câu 3 (4 điểm): Bình thường, bạn An đi học từ nhà đến trường với vận tốc 5km/h thì đến lớp sớm hơn giờ vào học 5 phút. Nhưng hôm nay, do dậy muộn so với bình thường 29 phút nên bạn An phải chạy với vận tốc 7,5 km/h và đến lớp vừa kịp giờ vào học. Tính quãng đường từ nhà bạn An đến trường.

Câu 4 (6 điểm): Cho hình vuông ABCD và các điểm E, F lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho AE = AF. Gọi H là hình chiếu của A trên DE.

a. Chứng minh AD2 = DH.DE. b. Chứng minh hai tam giác AHF và DHC đồng dạng. c. Xác định vị trí của các điểm E và F để diện tích tam giác CDH gấp 9 lần diện tích tam giác AFH.

Câu 5 (2 điểm): Cho M = 2x2 + 2y2 + 3xy – x – y – 3.

Tính giá trị của M biết xy = 1 và đạt giá trị nhỏ nhất. x y 

Hết

Đề thi gồm 01 trang

ThuVienDeThi.com

hướng dẫn chấm Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8

năm học 2009 – 2010

Môn thi: Toán Câu ý Nội dung Điểm a 1.5® A =

2 3

2 2 2 1 1 2 16 16 4 : 1 2 1 2 4 1 4 4 1 x x x x x x x x x x

               

=   

2 2

2 2 1 1 2 16 4 (4 1) : 1 2 1 2 1 2 1 2 (2 1) x x x x x x x x x x

                 

ĐK: x 1 2 

0.5

1®

b 1.5®

Với điều kiện ë câu a ta có:

A =       

2 2 2

2 2 1 1 2 16 4 (2 1)(2 1) : 1 2 1 2 (2 1)

x x x x x x x x x

                

=

2 16 8 4 (2 1) : (1 2 )(1 2 ) 2 1 x x x x x x x     

= 8 2 1 . 1 2 4 (2 1) x x x x x

  

= 2 2 1 x 



0.5

0.5

0.5

1(4®)

c 1® A > 0 2 0 2 1 x     2 1 0 x  

1 2 x   

0.5

0.5

a 2® (x + 2)(x2 – 3x + 5) = (x + 2) x2 (x + 2)(x2 – 3x + 5 – x2) = 0  (x + 2)(-3x + 5) = 0 



2 5 3

x

x

    

0.5

0.5

1

2

b 2®

2

2 8 2 1 8 3(1 4 ) 6 3 4 8 x x x x x x      

(1)

2 8 2 1 8 3(1 2 )(1 2 ) 3(2 1) 4(1 2 ) x x x x x x x        

ĐK: x 1 2 

(1) (1 – 2x) 2 32 8 (1 2 ) 3(1 8 ) x x x x      26x + 3 = 0 

x =  3 26 

0.5 0.5

0.5

0.5

ThuVienDeThi.com

3 4® Gọi quãng đường từ nhà bạn An đến trường là x (km). ĐK x > 0

Thời gian đi quãng đường x với vận tốc 5km/h là 5

x

Thời gian đi quãng đường x với vận tốc 7.5 km/h là 7.5

x

Thời gian đi quãng đường x với vận tốc 7.5 km/h ít hơn thời gian đi với vận tốc 5 km/h là 24 phút hay 0.4 giờ. Ta có phương trình:

- = 0.4 5

x

7.5

x

Giải ra được x = 6. x = 6 thoả mãn đk x > 0. Vậy quãng đường cần tìm là 6 km

0.25

0.5

0.5

0.5

1 0.25

a 2® Xét hai tam giác vuông ADE Và HAD có chung góc nhọn ADH nên chúng đồng dạng.

Suy ra AD DE DH

AD 

DE DH AD . 2  

1 0.5

0.5

b 2® Từ hai tam giác ADE và HAD đồng dạng ta có:

HA AE HD

AD 

(1) ( Do AD = DC; AF = AE theo bài cho ) HA AF HD DC  

Mặt khác HDC = HAD (2) ( cùng phụ với HAD ) Từ (1) và (2) suy ra hai tam giác AHF và DHC đồng dạng (Trường hợp c - g - c)

0.5

0.5

0.5

0.5

4 6®

c 2® Theo chứng minh câu (b) ta có hai tam giác CDH và AFH đồng dạng nên ta có:

2       





AF CD S S

AFH

CDH

9 9

2

        





AF CD S S

AFH

CDH

CD = 3 AF.  Vậy, để diện tích tam giác CDH gấp 9 lần diện tích tam giác

AFH thì E, F thuộc AB và AD sao cho AE = AF = . AB 3 1

0.5

0.5 0.5

0.5

A

C

B

D

F

H

E

ThuVienDeThi.com