Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Thủy Nguyên năm học 2012 2013 môn Toán 8

UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

-----------------------------

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2012 – 2013

MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (2,0 điểm)

1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 – 2xy + y2 – xz + yz b) - 2x2 + 11x – 15

2. Cho x, y là các số thực khác 0 thỏa mãn

2 2 x 2xy 2y 2x 6y 5 0       . Hãy tính

giá trị của biểu thức

2 3x y 1 P 4xy

 

Bài 2. (2,0 điểm)

1. Xác định các số hữu tỉ a và b để đa thức x 3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 – 2x - 3

2. Chứng minh rằng sốn2 + 2014 với n nguyên dương không là số chính phương.

Bài 3. (2,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của điểm A qua điểm D. Từ A vẽ AH vuông góc với đoạn BE tại H. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AH và HE.

a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình bình hành.

b) Tính số đo của  ANC .

Bài 4. (1,5 điểm)

Cho tam giác ABC có A tù, AC > AB và H là chân đường cao hạ từ A. Về phía

trong góc BAC dựng các điểm D, E sao cho AD  AB, AD = AB, AE  AC và

AE = AC. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh ba điểm A, H, M thẳng hàng.

Bài 5. (2,0 điểm)

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình xy – 2x – 3y + 1 = 0

2. Cho x, y, z  0 ; 2x + 7y = 2014 và 3x + 5z = 3031. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A = x + y + z.

=========Hết=======

ThuVienDeThi.com

UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2012 – 2013

MÔN: TOÁN 8

Bài 1. (2,0 điểm)

1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 – 2xy + y2 – xz + yz b) - 2x2 + 11x – 15

2. Cho x, y là các số thực khác 0 thỏa mãn

2 2 x 2xy 2y 2x 6y 5 0       . Hãy tính giá

trị của biểu thức

2 3x y 1 P 4xy

 

Câu Đáp án Điểm

1a x2 – 2xy + y2 – xz + yz = (x2 – 2xy + y2) – (xz – yz)

= (x – y)2 – z(x – y) = (x – y)(x – y – z)

0,25

0,5

1b - 2x2 + 11x – 15 = - 2x2 + 6x + 5x – 15 = -2x(x – 3) + 5(x – 3)

= (x – 3)(- 2x + 5)

0,25

0,5

2 Ta thấy:       2 2 x 2xy 2y 2x 6y 5 0

        

     

             

2 2 2

2 2 (x 2xy y ) (2x 2y) 1 (y 4y 4) 0

(x y 1) (y 2) 0

x y 1 0 x 1 y 2 0 y 2

Do đó:          

2 2 3x y 1 3.( 1) .( 2) 1 7 P 4xy 4.( 1).( 2) 8

0,25

0,25

Bài 2. (2,0 điểm)

1. Xác định các số hữu tỉ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 – 2x - 3

2. Chứng minh rằng số n2 + 2014 với n nguyên dương không là số chính phương.

Câu Đáp án Điểm

1 Đặt tính chia đa thức x3 + ax + cho đa thức x2 – 2x – 3 được thương là x + 2 và dư (a +7)x + (b + 6)

Để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 – 2x – 3 thì đa thức dư phải bằng 0 với mọi giá trị của x nên :

a 7 0 a 7 b 6 0 b 6             

0,5

0,75

ThuVienDeThi.com

Vậy với a = -7 và b = - 6 thì đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 – 2x – 3.

0,25

2 Nếu n2 + 2014 là một số chính phương thì n2 + 2014 = k2 (k  N)

 k2 – n2 = 2014

 (k – n)(k + n) = 2014 (*)

Vì (k + n) – (k – n) = 2n là số chẵn nên k và m phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 là chẵn

Nên (k – n), (k + n) đều chia hết cho 2 hay (k – n)(k + n)  4

Mà 2014 không chia hết cho 4

Suy ra đẳng thức (*) không thể xảy ra.

Vậy không có số nguyên dương n nào để số n 2 + 2014 là số chính phương

0,25

0,25

Bài 3. (2,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của điểm A qua điểm D. Từ A vẽ AH vuông góc với đoạn BE tại H. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AH và HE.

a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình bình hành.

b) Tính số đo của  ANC .

Câu Đáp án Điểm

Hình vẽ đúng câu a)

N M

H

E D

C B

A

0,25

a Xét HAE có : HM = MA ; HN = NE (gt)

 MN là đường trung bình của HAE

MN / /AE

1 MN AE 2

   

Lại có BC // AD (ABCD là hình vuông) và BC = AD = 1 AE 2

Do đó MN // BC (cùng song song với AE) và MN = BC

0,25

0,25

0,5

ThuVienDeThi.com