Đề kiểm tra học sinh giỏi lớp 8 môn Toán - Trường Lê Quý Đôn - Quận 3 (2013-2014)

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG

Ñeà Kieåm Tra, HSG LỚP 8 Trường Leâ Quyù Ñoân, Q.3 (2013-2014) Trang 1

TRƯỜNG LÊ QUÝ ĐÔN - QUẬN 3 (2013-2014)

(Thi ngaøy: ngaøy 29/3/2014)

Thời gian: 120 Phút Bài 1:

a) Chöùng minh: 3 3 3 a b c 3abc    vôùi a b c 0  

b) Cho 1 1 1 abc 1; a b c a b c       . Tính     29 3 2014 a 1 b 1 c 1   

Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)

 

2 1 4 xy x y 



b)

  2 2 2 1 1 6 xy x y x y    

Bài 4: Cho ABC  vuông tại A có AH là đường cao. BQ là tia phân giác của góc B; AD là tia phân giác

của HAC. BQ cắt AD tại K. CK cắt AB tại L.

a) Chứng minh: DAQ  là tam giác cân.

b) Chöùng minh: DB LB QA 1 DC LA QC   

Bài 5: Cho ABC  có AB = 13; AC = 14; BC = 15; có đường cao AH. Tính AH.



HEÁT

ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LÔÙP 8

ThuVienDeThi.com

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG

Ñeà Kieåm Tra, HSG LỚP 8 Leâ Quyù Ñoân, Quaän 3 (2013-2014) Trang 2

HƯỚNG DẪN GIAÛI Baøi 1:

a) Chöùng minh: 3 3 3 a b c 3abc    vôùi a b c 0  

Ta coù:a b c 0 a b c    

Do ñoù:       3 3 3 3 3 3 3 a b c a b 3ab a b c c 3ab c c 3abc             : ñpcm

b) Cho 1 1 1 abc 1;a b c a b c       . Tính     29 3 2014 a 1 b 1 c 1   

Ta coù:   1 1 1 a b c a b c ab bc ca vì abc = 1 a b c           

  a b c ab bc ca 0 abca b c ab bc ca 1 0 vì abc = 1            

          ab c 1 a c 1 b c 1 c 1 0 c 1 ab a b 1 0              

   

a 1 a 1 b 1 c 1 0 b 1 c 1

           

Do ñoù:     29 3 2014 a 1 b 1 c 1 0    

Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau với x, y > 0:

a)

 

2 1 4 xy x y 



  2 2 x 2xy y 4xy vì x, y > 0 neân x + y > 0 vaø xy > 0    

 

2 x y 0 :luoân ñuùng   

Vậy BĐT đã được chứng minh.

b)

  2 2 2 1 1 6 xy x y x y    

Áp dụng BĐT câu a) và   1 1 4 a,b 0 a b a b      , ta được:

      2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 4 6 :ñpcm xy 2xy 2xy x y x y x y 2 x y x y            

Baøi 3:

Bài 4: Cho ABC  vuông tại A có AH là đường cao. BQ là tia phân giác của góc B; AD là tia phân giác

của HAC. BQ cắt AD tại K. CK cắt AB tại L.

ThuVienDeThi.com

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG

Ñeà Kieåm Tra, HSG LỚP 8 Leâ Quyù Ñoân, Quaän 3 (2013-2014) Trang 3

T S

L K

E

D

Q

H

A

B C

a) Chứng minh: DAQ  là tam giác cân.

Gọi E là giao điểm của AH và BQ.

Chứng minh được: AEQ  cân tại A AD là đường phân giác cũng là đường cao.

Do đó: E là trực tâm của ABD  . DE AB   mà AC AB  nên AC // DE.

  QDA DAE 2 goùc so le trong  

mà  DAE DAQ ...  nên QDA DAQ DAQ cân tại Q  

b) Chöùng minh: DC LB QA 1 DB LA QC   

Từ A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt BQ tại S, cắt CK tại T.

Ta coù:

 

 



DB DK BD // AS DB DC DC AT AS AK 1 AS AT DB AS DC DK DC // AT AT AK

          

Ta coù:   LB BC BC // TA 2 LA AT 

Ta coù:   QA AS AS // BC 3 QC BC 

Töø (1), (2). vaø (3) ta suy ra DC LB QA 1 DB LA QC   

Bài 5: Cho ABC  có AB = 13; AC = 14; BC = 15; có đường cao AH. Tính AH.

ThuVienDeThi.com