Đề thi học sinh giỏi Toán 8 - Trường Đặng Trần Côn

Học Sinh Giỏi Lớp 8 – Cấp Trường – Quận Tân Phú 2014 -2015

Trang 1 Cty CP GD Thăng Tiến Thăng Long

Thời gian: 120 phút (NGÀY THI: 4/10/2014) Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a)      2 2 2x y 3x 5 2x 7 2x 4xy 11x 9        

b)      n n n 5 n 5 5 x 1 x 2 x x x 2014       

Bài 2: Cho biểu thức: 1 1 1 1 A ... 1.2 2.3 3.4 2014.2015     

a) Tính A.

b) Chứng minh: 2 2 2 2 1 1 1 1 B ... 1 2 3 4 2015      

Bài 3: Chứng minh rằng: 3 2 n 3n 2n   chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. Bài 4: Cho ABC  có AM là đường trung tuyến. Trên cạnh AB lấy hai điểm D và E sao cho AD DE EB   . Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AC = 3AF. Gọi I là giao điểm của AM và CD.

a) Chứng minh: 1 DI CD 4 

b) Chứng minh ba đường thẳng AM, CD, và BF đồng quy. Bài 5: Chứng minh rằng nếu a, b, c là số đo của ba cạnh một tam giác vuông, với a là độ dài cạnh huyền thì các số x 9a 4b 8c;y 4a b 4c;z 8a 4b 7c          cũng là số đo các cạnh của một tam

giác vuông khác, Bài 6: Cho 12 số tự nhiên từ số 1 đến số 12. Có thể sắp xếp 12 số này trên một vòng tròn sao cho 2 số kề nhau bất kì có tổng lớn hơn 12 hay không? Vì sao?

 HẾT 

ĐỀ THI HSG LỚP 8 Trường Đặng Trần Côn

ThuVienDeThi.com

Học Sinh Giỏi Lớp 8 – Cấp Trường – Quận Tân Phú 2014 -2015

Trang 2 Cty CP GD Thăng Tiến Thăng Long

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a)      2 2 2x y 3x 5 2x 7 2x 4xy 11x 9        

      

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2x y 3x 5 2x 7 2x 4xy 11x 9

4x 4xy y 6x 21x 10x 35 2x 4xy 11x 9

y 44

       

          

          

 

b)      n n n 5 n 5 5 x 1 x 2 x x x 2014       

     n n n 5 n 5 5 x 1 x 2 x x x 2014       

2n n n 2n n x 2x x 2 x x 2014 2016        

Bài 2: Cho biểu thức: 1 1 1 1 A ... 1.2 2.3 3.4 2014.2015     

a)Tính A.

1 1 1 1 A ... 1.2 2.3 3.4 2014.2015     

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2014 ... 1 2 2 3 3 4 2014 2015 1 2015 2015            

b) Chứng minh: 2 2 2 2 1 1 1 1 B ... 1 2 3 4 2015      

Ta có:

2

2

2 2 2 2 2

2

1 1 1.2 2

1 1 2.3 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 3.4 1.2 2.3 3.4 2014.2015 4 2 3 4 2015 ...............

1 1 2014.2015 2015

                          

2014 B B 1 2015    

Bài 3: Chứng minh rằng: 3 2 n 3n 2n   chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

Ta có:     3 2 2 n 3n 2n n n 3n 2 n 2 n 1 n        

Do    n 2 n 1 n   là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên có ít nhất 1 số chia hết cho 2, 1 số chia

hết cho 3. Mà ƯCLN(3;2) = 1. Nên      3 2 n 2 n 1 n 2.3 n 3n 2n 6     

ThuVienDeThi.com

Học Sinh Giỏi Lớp 8 – Cấp Trường – Quận Tân Phú 2014 -2015

Trang 3 Cty CP GD Thăng Tiến Thăng Long

Bài 4: Cho ABC  có AM là đường trung tuyến. Trên cạnh AB lấy hai điểm D và E sao cho AD DE EB   . Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AC = 3AF. Gọi I là giao điểm của AM và CD.

I

K

F

E

D

M

A

B C

a) Chứng minh: 1 DI CD 4 

Chứng minh được: EM là đường trung bình của BDC 



EM // DC

1 EM= DC 1 2

 



Xét AEM  , ta có:

 

D là trung điểm của AE(...)

DI // EM ...

I AM gt

   

 I là trung điểm của AM

 DI là đường trung bình của AEM 

 1 ID EM 2 2  

Từ (1) và (2) ta suy ra: 1 DI CD 4 

b) Chứng minh ba đường thẳng AM, CD, và BF đồng quy.

Gọi K là trung điểm của FC. AF FK KC    Chứng minh được :

IF là đường trung bình của AMK MK là đường trung bình của BFC

    

IF // MK IF BF BF // MK

     

 B, I, F thẳng hàng.

Bài 5: Chứng minh rằng nếu a, b, c là số đo của ba cạnh một tam giác vuông, với a là độ dài cạnh huynền thì các số x 9a 4b 8c;y 4a b 4c;z 8a 4b 7c          cũng là số đo các cạnh của một

tam giác vuông khác,

Theo đề bài, ta có: 2 2 2 a b c   Ta có : 2 2 2 2 x 9a 4b 8c x 81a 16b 64c 72ab 144ac 64bc          

ThuVienDeThi.com