Đê thi học sinh giỏi Toán 8 năm học 2012 - 2013 Trường Thcs Phổ Văn

TRƯỜNG THCS PHỔ VĂN ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8

NĂM HỌC 2012 - 2013 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ Câu 1: (5 điểm) a) Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x (x – 1)4 – x2(x2 +6) +4x(x2+1) b) Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – 6x2 +11x -6 Câu 2: (5 điểm) a) Chứng minh rằng ( x2 + y2 + z2)2 = 2( x4 + y4 + z4) biết rằng x + y + z = 0

b) T×m x , biÕt : 0 6 995

6 996

5 997

4 998

3 999

2 1000

1              x x x x x x

Câu 3: (3 điểm):

Cho biÓu thøc A = 3 2 3 3

1 x x x x     a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên ? c) Tìm giá trị lớn nhất của A Câu 4:(7 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC > AB) đường cao AH . Trên tia HC lấy HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E .

a) Chứng minh AE = AB b) Gọi M là trung điểm của BE . Tính góc AHM

ThuVienDeThi.com

TRƯỜNG THCS PHỔ VĂN ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8

NĂM HỌC 2012 - 2013 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐÁP ÁN Câu Nội dung Điểm 1 a) (x – 1)4 – x2(x2 +6) +4x(x2+1) = x4- 4x3 + 6x2 - 4x +1 – x4 - 6x2 + 4x3 + 4x = 1 Vậy với mọi giá trị của x biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến x b) x3 – 6x2 +11x - 6 = x3 – x2 – 5x2 +5x + 6x – 6 = x2(x – 1) -5x( x -1) + 6( x – 1) = (x -1) ( x2 -5x + 6) = (x -1)( x – 2)(x -3)

1,5

1,0

1,5

1,0

2 Ta cã : x + y + z = 0 x = -(y + z)  x2= [-(y + z)]2  x2= y2+ z2 + 2xz x2- y2- z2 = 2xz (x2- y2- z2)2 = (2xz)2 x4+ y4 + z4 -2x2y2 -2x2z2 +2y2z2 = 4x2z2 x4+ y4 + z4 = 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2 x4+ y4 + z4+ x4+ y4 + z4 = x4+ y4 + z4+ 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2z2 2(x4+ y4 + z4) = ( x2 + y2 + z2)2

b) 0 6 995

6 996

5 997

4 998

3 999

2 1000

1              x x x x x x

1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 0 1000 999 998 997 996 995 x x x x x x             

0 995

1001 996

1001 997

1001 998

1001 999

1001 1000

1001              x x x x x x

0 ) 995

1 996

1 997

1 998

1 999

1 1000

1 )( 1001 (        x

x=-1001. 

1,0

1,0 0,5

1,0

0,5

0,5

0,5

3 a) A = 3 2 3 3

1 x x x x    

= 2

3( 1) ( 1) ( 1) x x x x    

= 2 3( 1) ( 1)( 1) x x x   

= 2

3

1 x  b) Muốn A nhận giá trị nguyên thì x2 +1 ¦(3) = {-3,-1 , 1 , 3}   Nếu x2 +1 = - 3 không có giá trị nào của x thỏa mãn  Nếu x2 +1 = -1 không có giá trị nào của x thỏa mãn

1,0

ThuVienDeThi.com

 Nếu x2 +1 = 1 x = 0 thì A = 3   Nếu x2 +1 = 3 x2 = 2 x = thì A = 1   2  Vậy tập hợp các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên là: {- ,0 , } 2 2

c) A= nhận giá trị lớn nhất khi x2 +1 có giá trị nhỏ nhất . 2

3

1 x  Mà x2 +1 1 với mọi x R  

Tức là x2 +1= 1 là nhỏ nhất khi đó A = 3 3 1 

Nếu x2 +1 = 1 x = 0  Vậy khi x = 0 Thì A đạt giá trị nhỏ nhất là 3

1,0

1,0

4 a) CM: AE = AB Kẻ EF AH  Tứ giác HDEF là hình chữ nhật 

EF = HD mà HD = AH (gt) 

EF = AH  Xét HBA và FAE có :  

A    0 H F 90 AH = EF

cùng phụ với A A  FEA BAH AFAE Do đó HBA = FAE ( g –c –   g) AE = AB  b)Tính AAHM

Ta có BAE vuông tại A AM =   1 2 BE

BDE vuông tại D DM =   1 2 BE

Do đó : AM = DM Xét AHM và DHM có :   AM = MD AH = HD HM là cạnh chung Do đó AHM = DHM ( c-c-c)  

A A A    

0

0 AHD 90 AHM MHD 45 2 2

VËy = 450 AAHM

2,0

2,0

1,0

1,0

1,0

A

B C

H D

E F

M

ThuVienDeThi.com