Đè thi học sinh giỏi huyện môn Toán 8 - Đề 3

Đề KS 3 ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN

Môn: Toán 8

Bài 1: a)Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: (1) 2 2 2 2 x xy y x y   

b) Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3

đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng

đơn vị thì ta vần được một số chính phương.

Bài 2: Chứng minh rằng:Nếu và a + b + c = abc thì ta có 1 1 1 2 a b c    2 2 2 1 1 1 2 a b c   

Bài 3: a) Giải phương trình: (x2 – 4x)2 + 2(x – 2)2 = 43

b)Cho phương trình: Tìm giá trị m để phương trình vô nghiệm. 1 1 2

   



x x m x

x

Câu 4:Cho tam giác ABC nhọn. Dựng ra phía ngoài hai tam giác đều ABE; ACF, lại dựng hình hành AEPF.

Chứng minh rằng PBC là tam giác đều.

Câu 5: Cho tam giác ABC có BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm.

a. Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC. b. Gọi CD là đường phân giác của tam giác ACH. Chứng minh BCD cân. c. Chứng minh: BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2 Bài 6a)Cho a, b là các số dương t/m a3 + b3 = a5 + b5Chứng minh rằng: a2 + b2 1 + ab 

b)Cho S = + + + … + . Chứng minh rằng S > 101

1

102

1

103

1

200

1

12

7

---------------------------------------------------------------------------- Đề KS 3 ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN

Môn: Toán 8

Bài 1: a)Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: (1) 2 2 2 2 x xy y x y   

b) Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3

đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng

đơn vị thì ta vần được một số chính phương.

Bài 2: Chứng minh rằng:Nếu và a + b + c = abc thì ta có 1 1 1 2 a b c    2 2 2 1 1 1 2 a b c   

Bài 3: a) Giải phương trình: (x2 – 4x)2 + 2(x – 2)2 = 43

b)Cho phương trình: Tìm giá trị m để phương trình vô nghiệm. 1 1 2

   



x x m x

x

Câu 4:Cho tam giác ABC nhọn. Dựng ra phía ngoài hai tam giác đều ABE; ACF, lại dựng hình hành AEPF.

Chứng minh rằng PBC là tam giác đều.

Câu 5: Cho tam giác ABC có BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm.

d. Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC. e. Gọi CD là đường phân giác của tam giác ACH. Chứng minh BCD cân. f. Chứng minh: BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2 Bài 6a)Cho a, b là các số dương t/m a3 + b3 = a5 + b5Chứng minh rằng: a2 + b2 1 + ab 

b)Cho S = + + + … + . Chứng minh rằng S > 101

1

102

1

103

1

200

1

12

7

ThuVienDeThi.com

Câu Nội dung bài giải

a)Thêm xy vào hai vế: 2 2 2 2 2 x xy y x y xy     (2) 2 ( ) ( 1) x y xy xy     Ta thấy xy và xy + 1 là hai số nguyên liên tiếp, có tích là một số chính phương nên tồn tại một số bằng 0. Xét xy = 0. Từ (1) có nên x = y = 0 2 2 0 x y   Xét xy + 1 = 0. Ta có xy = -1 nên (x , y) = (1 ; -1) hoặc (-1 ; 1)

Thửa lại, ba cặp số (0 ; 0), (1 ; -1), (-1 ; 1) đều là nghiệm của phương trình đã cho

b) Gọi là số phải tìm a, b, c, d N, abcd  0 9 0    a, d ,c,b ,a

Ta có: 

 

    



2

2

) 3 )( 5 )( 3 )( 1 ( m d c b a

k abcd



 

 

 

2

2

1353 m abcd

k abcd

Do đó: m2 – k2 = 1353 (m + k)(m – k) = 123.11= 41. 33 ( k + m < 200 ) 

hoặc 

  

 

 

11

123

k m

k m

  

 

 

33

41

k m

k m

(thỏa mãn) hoặc (loại) 

  





57

67

k

m

  





4

37

k

m

Vậy số cần tìm là: = 3136 abcd

Câu 1

Theo gt: nên a , b 0, c 0 1 1 1 2 a b c    0   

Ta có: 1 1 1 2 a b c    

2

2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 4 a b c a b c ab bc ca                      

2 2 2 1 1 1 2 4 a b c a b c abc             

Vì a + b + c = abc (gt) nên 1 a b c abc   

Câu 2

( đpcm) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 4 2 a b c a b c         

Bài 3: a/     43 2 .2 4

2 2 2     x x x     ; 43 4 4 2 4 2 2 2      x x x x

với k, m N,  100 m k 31   

ThuVienDeThi.com