Đề thi học sinh giỏi môn Toán 8 - Trường THCS Đỗ Xuyên

Đề thi học sinh giỏi Môn: Toán 8 Thời gian làm bài: 150 phút

(Giáo viên ra đề: Nguyễn Hoàng Thuỷ-Trường THCS Đỗ Xuyên)

Bài 1:(2 điểm)

Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x2+2009x-2010 b) x4+2010x2+2009x+2010 Bài 2: (2 điểm)

Giải các phương trình:

a) x2-4+ =0 x 2 

b)  

2 2 2

2 2 2 2 2 1 1 1 1 x x x 2 x x 2 x x x x                              Bài 3:(2 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu a+b+c=0 thì a3+b3+c3=3abc b) Chứng minh rằng:

2007.2008.2009.2010 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ...... 2007.2008.2009 4     

Bài 4:(4 điểm) Cho tam giác ABC có AB=3cm, BC=5cm, CA=4cm. Đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM.

a) Chứng minh rằng: AD là tia phân giác của AHAM b) Tính diện tích các tam giác: AHB , AHD , AMD , AMC    

Hết

Đáp án và thang điểm

Phòng GD&ĐT Thanh Ba

ThuVienDeThi.com

Bài Câu Đáp án Điểm a (1điểm) x2+2009x-2010=(x2-x)+(2010x-2010)=x(x-1)+2010(x-1) =(x-1)(x+2010)

0,5 0,5

1

b (1 điểm) x4+2010x2+2009x+2010= x4+x2+1+ 2009x2+2009x+2009 =(x2+1)2-x2+2009(x2+x+1) =(x2+x+1) (x2-x+1)+ 2009(x2+x+1) =(x2+x+1) (x2-x+2010)

0,25 0,25 0,25 0,25 a (1 điểm)

x2-4+ =0 (1) x 2 

+ Nếu x 2 thì (1) (x-2)(x+3)=0 loại x=-3 vì x 2    x 2 x 3     



+ Nếu x<2 thì (1) (x-2)(x+1)=0 loại x=2 vì x<2   x 2 x 1      Vậy phương trình có 2 nghiệm x=-1 ; x=2

0,25

0,25

0,5 b (1 điểm)

2

 

2 2 2

2 2 2 2 2 1 1 1 1 x x x 2 x x 2 x x x x                              Điều kiện x 0 

 

   

2 2

2 2 2 2 2

2

2 2

2

1 1 1 1 x x x 2 x x 2 x x x x

1 1 x 2 2 x x 2 x x

                                     

                  

4= (x-2)2 x=0 hoặc x=4 Kết hợp với điều kiện trên loạix=0   Vậy phương trình có một nghiệm x=4

0,25

0,25

0,25 0,25 3 a ( 1 điểm) Ta có a+b+c=0 a+b=-c (a+b)3=-c3 a3+b3+3ab(a+b)=-c3    a3+b3+c3=-3ab(a+b)  a3+b3+c3=-3ab(-c)  a3+b3+c3=3abc 

0,25 0,25 0,25 0,25

b (1 điểm) Đặt A=1.2.3 2.3.4 3.4.5 ...... 2007.2008.2009     Ta có: 4A=1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+…..+2007.2008.2009.4 =1.2.3.4+2.3.4.(5-1)+3.4.5.(6-2)+…+2007.2008.2009.(2010-2006) =1.2.3.4-1.2.3.4+…-2006.2007.2008.2009+2007.2008.2009.2010

0,25

0,25 ThuVienDeThi.com

=2007.2008.2009.2010

Suy ra A= Suy ra ĐPCM 2007.2008.2009.2010

4

0,25

0,25

4

Hình vẽ:

a (2 điểm) Theo định lÝ Pitago đảo suy ra là tam giác vuông tại A ABC 

Vì AD là phân giác của suy ra (1) ABAC A A DAB DAC  Mặt khác do AM là trung tuyến của tam giác vuông ABC

MA=MC Suy ra (2)  A A C MAC 

Ta lại có (vì cùng phụ với ) (3) A A HAB C  AB

Từ (1), (2), (3) suy ra A A A A DAB HAB DAC MAC   

Hay Suy ra ĐPCM A A DAH DAM 

0,25

0,25

0,25

0,25 0,5

0,5 b (2 điểm) Vì vuông tại A và có AB=3cm, AC=4cm suy ra SABC=6 cm2 ABC 

Vì AM là trung tuyến nên suy ra ABC  AMB AMC ABC 1 S S S 2  

Suy ra 2 AMC S 3cm 

Ta có đồng dạng với suy ra: AHB  CAB 

cm2

2 AHB

CAB

S AB S CB      

 AHB

CAB

S 9 S 25   AHB

54 S 25 

Vì AD là tia phân giác nên theo tính chất đường phân giác ta có:

mà Suy ra DB AB 3 DC AC 4   ADB

ADC

S DB S DC  ADB

ADC

S 3 S 4 

Suy ra cm2  ADB ABC 3 S S 7  ADB

18 S 7 

Ta lại có Suy ra cm2 AHD ADB AHB S S S   AHD

72 S 175 

0,25

0,25

0,5

0,5

0,5

A

B C H D M

ThuVienDeThi.com