Xem trước nội dung
1
UBND HUYỆN YÊN LẬP
PHÒNG GD&ĐT ( Đề chính thức)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN THI: TOÁN, LỚP 8 Ngày thi: (Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )
( §Ò thi cã 01 trang )
Câu 1 ( 4,0 điểm):
a) Tính giá trị của biểu thức A = x4 – 17x3 + 17x2 - 17x + 20 tại x = 16.
b) Với m, n là 2 số nguyên tùy ý. Chứng minh rằng 4mn(m2 - n2) 24.
Câu 2 ( 4,0 điểm):
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử . ( ) ( ) ( ) A ab a b bc b c ac a c
b) Tìm tất cả các số tự nhiên x sao cho x2 + 8 là bình phương của một số tự nhiên.
Câu 3 ( 6,0 điểm): Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm của hai đường
chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD tại E; cắt BC tại F. Chứng
minh rằng:
a) ; AOD BOC S S
b) OE = OF;
c) . 1 1 2 AB CD EF
Câu 4 ( 4,0 điểm): Giải các phương trình sau:
a) 4x2 - 4x -3 = 0;
b) = 0. 2 2 2 ( ) 4 4 12 x x x x
Câu 5 (2,0 điểm): Cho a, b, c là các số khác 0 và a + b + c 0 thỏa mãn điều kiện ¹
. 1 1 1 1 a b c a b c + + = + +
Chứng minh . 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 1 1 1 a b c a b c + + = + +
Hết
Họ và tên học sinh:…………………...………………, số báo danh……………….
ThuVienDeThi.com
2
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN 8
Câu 1 ( 4,0 điểm):
a) Tính giá trị của biểu thức A = tại x = 16. 4 3 2 17 17 17 20 x x x x
b) Với m, n là 2 số nguyên tùy ý. Chứng minh rằng 4mn(m2 - n2) 24.
Câu 2 ( 4,0 điểm):
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử . ( ) ( ) ( ) A ab a b bc b c ac a c
b) Tìm tất cả các số tự nhiên x sao cho x2 + 8 là bình phương của một số tự nhiên.
Đáp án Điểm a) A = x4-16x3-x3+16x2+x2-16x-x+16+4 = x3(x-16)-x2(x-16)+x(x-16)-(x-16)+4 Với x = 16, giá trị của biểu thức A là 4
0,5 0,5 0,5
b) Với m,n Z, ta có mn(m2 - n2) = mn[(m2-1)-(n2-1)] = mn(m2-1) - mn(n2-1) = mn(m-1)(m+1) - mn(n-1)(n+1) Ta thấy m(m-1)(m+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên m(m-1)(m+1) 3. m(m-1) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên m(m-1) 2 hay m(m-1)(m+1) 2. Mà (2,3) = 1 => m(m-1)(m+1) 6. Tương tự n(n-1)(n+1) 6 suy ra mn(m-1)(m+1) - mn(n-1)(n+1) 6 hay mn(m2 - n2) 6 Suy ra 4mn(m2 - n2) 24 (Đpcm)
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
0,5
Đáp án Điểm a) ( ) ( ) ( ) A ab a b bc b c ac a c = a2b + ab2 – b2c – bc2 + ac(a-c) = b(a2 – c2) + b2(a – c) + ac(a-c) = b(a-c)(a+c) + b2(a – c) + ac(a-c) = (a-c)(ab + bc + b2 + ac) = (a-c)(a+b)(b+c)
0,5 0,5
0,5 0,5 b) Giả sử có số tự nhiên x thỏa mãn đề bài Đặt x2 + 8 = y2 (1) (Với y N) y2 – x2 = 8 (y-x)(y+x) = 8 (2) Theo (1): y2 = x2 + 8 > x2 hay y2 > x2 Nhưng x, y N nên y>x => y-x > 0 và x+y > 0 Mặt khác (y+x) – (y-x) = 2x 0 (do x N)
Từ (2) => (3) hoặc (4) 1
8 y x y x
2 4 y x y x
Từ (3) => y = (Không thỏa mãn) 8 1 9 2 2
0,25 0,25
0,25 0,25
0,5
0 25
ThuVienDeThi.com
5
Câu 3 ( 6,0 điểm): Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm của hai đường chéo.
Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD tại E; cắt BC tại F. Chứng minh rằng:
a) ; AOD BOC S S
b) OE = OF;
c) . 1 1 2 AB CD EF
Đáp án Điểm
O
A B
D C
F E
H K
a) Kẻ AH CD và BK CD => AH AB (vì AB//CD) => Tứ giác AHKB là hình chữ nhật => AH = BK
=> Ta có SADC = AH.DC = BK.DC = SBDC 1 2
1 2 => SADC = SBDC => SAOD + SDOC = SBOC + SDOC => AOD BOC S S
0,5
0,5
0,5
b) Vì OE//CD nên (Hệ quả của Định lí Ta let) (1) OE AO CD AC
Vì OF//CD nên (Hệ quả của Định lí Ta let) (2) OF OB CD BD
Vì AB//CD nên (Hệ quả của Định lí Ta let) OA OB OC OD
=> (Tính chất dãy tỉ số bằng nhau) OA OB OA OC OB OD
=> (3). Từ (1), (2) và (3) ta có OA OB AC BD OE OF OE OF CD CD
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5 c)
Vì OE//AB nên (4) OE ED AB AD
Mà ( Vì OE = OF theo câu a) EF 2OE AB AB
= (Theo (4)) 2ED
AD
Chứng minh tương tự EF 2OE 2AE CD CD AD
= + = EF EF AB CD
2ED
AD
2AE
AD 2AD 2 AD
0,5
0,5
0,5
ThuVienDeThi.com
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
