Đề & đáp án thi HSG Toán 8

ĐỀ I Bài 1 Chứng minh rằng : a, (n^5- 5n^3+4n) chia hết cho 120 với m,n thuộc Z giải a)Ta cã : n5 – 5n3 + 4n = n5 – n3 – 4n3+ 4n = n3(n2 - 1) – 4n( n2 - 1)

= n(n - 1)( n + 1)(n - 2)(n + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp trong đó có ít nhất hai số là bội của 2 ( trong đó một số là bội của 4, một số là bội của 3, một số là bội của 5). Vậy tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 8,3,5 = 120. b, Phân tích đa thức thành nhân tử:

    2 2 2 2 B x 5x 6 7x x 5x 6 12x        giải

    2 2 2 2 B x 5x 6 7x x 5x 6 12x        Đặt Khi đó 2 x 5x 6 y    2 2 B y 7xy 12x        2 2 B y 3xy 4xy 12x y y 3x 4x y 3x              2 2 y 3x y 4x x 5x 6 3x x 5x 6 4x              2 2 x 2x 6 x x 6     

Bài 2:

Cho biểu thức :

2 2

2 2 3 2 4 2 3 ( ) : ( ) 2 4 2 2 x x x x x A x x x x x           a,Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? b,Tìm giá trị của x để A > 0? c,Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4 giải a)

ThuVienDeThi.com

2

2

2 3

2 0

4 0 0 2 0 2 3 3 0

2 0

x

x x x x x x x

x x

                        

2 2 2 2 2 2

2 2 3 2 4 2 3 (2 ) 4 (2 ) (2 ) ( ) :( ) . 2 4 2 2 (2 )(2 ) ( 3) x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x                    

2 4 8 (2 ) . (2 )(2 ) 3 x x x x x x x      

2 4 ( 2) (2 ) 4 (2 )(2 )( 3) 3 x x x x x x x x x        

Vậy với thì . 0, 2, 3 x x x   

2 4x

3 A x   b) Với

2 4 0, 3, 2: 0 0 3 x x x x A x        ( Vì 4x2 > 0 mọi x # 0) 3 0 x   

3( ) x TMDKXD   Vậy với x > 3 thì A > 0.

c)

7 4 7 4 7 4 x x x

        11( )

3( )

x TMDKXD

x KTMDKXD

    Với x = 11 thì A = 121

2

Bài 3 ( 3điểm) a) Giải phương trình:

6

42 12 4

20 8 8

72 16 2

6 4 2 2 2 2



   

   

   

 

x

x x x

x x x

x x x

x x

b) Giải phư¬ng trình với nghiệm là số nguyên: x( x + x + 1) = 4y( y + 1). 2

Giải

ThuVienDeThi.com

a) ( 1,5 điểm)  6

6 ) 6 ( 4

4 ) 4 ( 8

8 ) 8 ( 2

2 ) 2 ( 2 2 2 2



   

   

   

 

x x x x x x x x

 6 6 6 4 4 4 8 8 8 2 2 2                x x x x x x x x

  6 6 4 4 8 8 2 2

       x x x x 6 3 4 2 8 4 2 1

       x x x x  ) 6 )( 4 (

24 5 ) 8 )( 2 (

16 5

 

   



x x

x x x

x

 (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8)  (5x+16)(x2 +10x + 24) = (5x+24)( x2 +10x + 16)  5x3 + 50x2 + 120x + 16x2 + 160x + 16.24 = 5x3 + 50x2 + 80x + 24x2 + 240x + 24.16  8x2 + 40x = 0  8x(x + 5) = 0 x = 0; x = -5 Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm b) ( 1,5 điểm) + Phơng trình đợc biến đổi thành: (x + 1)(x + 1) = (2y + 1) 2

2 + Ta chứng minh (x + 1) và (x + 1) nguyên tố cùng nhau ! 2 Vì nếu d = UCLN (x+1, x + 1) thì d phải là số lẻ (vì 2y+1 2 lẻ)

2 mà d lẻ nên d = 1.  2

1

1

x d

x d

    







2

2 1

1

x x d

x d

x d

      







 1

1

x d

x d

   



  d 

+ Nên muốn (x + 1)(x + 1) là số chính phơng 2 Thì (x+1) và (x + 1) đều phải là số chính phơng 2

§Æt: (k + x)(k – x) = 1 hoÆc

2 2

2 1

1

x k

x t

   

  1

0

k

x

   

1

0

k

x

    + Với x = 0 thì (2y + 1) = 1 y = 0 hoặc y = -1.(Thỏa 2  mãn pt)

ThuVienDeThi.com