Xem trước nội dung
Các chuyên đề ôn thi HSG 6
Phạm Bá Quỳnh Page 3
CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỮ SỐ GIỐNG NHAU.
Lý thuyết: Cấu tạo số có chữ số giống nhau:
Ta có:
1
2
3
10 1 1 9 10 1 11 9 10 1 111 9 ...
999...9 1000...0 1 10 1 111...1 . 9 9 9
k k
k
k
− =
− =
− =
− − = = =
Các chữ số 2, 22, 222, ... có viết thành:
1 2 10 1 10 1 10 1 2 2;2 22;...;2 22...2 9 9 9
n − − − × = × = × =
Và các số khác cũng có thể viết theo quy tắc trên:
Bài tập:
Bài 1: Cho số tự nhiên n có k chứ số 9. Chứng tỏ tổng các chữ số của số n2 là 9k.
Giải: Ta viết 10 1 999...9 9(111...1) 9 10 1. 9
k k
k N − = = = = −
Tính chữ số của N2 theo công thức:
2
1 1 . (999...9).(10 1) 999...9000...0 999...9 999...98000...01 k
k k k k k N N N
− − = = − = − =
Vậy tổng các chữ số là: 9( 1) 8 1 9 . k k − + + =
Bài 2: Cho các số 49, 4489, 444889, ..., là số ta viết thêm số 48 vào giữa các chữ số của số 49,
chứng tỏ rằng tất cả các số viết theo quy tắc như vậy là bình phương của số tự nhiện
Giải: Ta iết các số dưới dạng:
1 2 3 49 4.1.10 8.1 1;4489 4.11.10 8.11 1;444889 4.111.10 8.111 1 = + + = + + = + +
Và cứ thế, cứ thế. 1 444...488...89 4.111...1.10 8.111...1 1. n
n n n n N
− = = + +
Mà 10 1 11...11 9
n
n
− = nên:
2
2 4 8 4 4 8 8 2.10 1 (10 1).10 (10 1) 1 10 10 10 1 9 9 9 9 9 9 3
n n n n n n n N + = − + − + = − + − + =
Số 2.10 1 n + chia hết cho 3, vậy chứng tỏ N là bình phương của số tự nhiên.
ThuVienDeThi.com
Các chuyên đề ôn thi HSG 6
Phạm Bá Quỳnh Page 4
Bài 3: Cho số A(n) và B(n) với 2n chữ số 1 và n chữ số 2 .
Có thể hay không A(n) – B(n) là bình phương của số tự nhiện?
Giải:
Ta có:
2 ( ) ( ) 111...1 222...2
n n A n B n − = − với 10 1 222...2 2 9
n
n
− = và
2
2
10 1 111...1 , 9
n
n
− =
nên:
2 2 10 1 10 1 (10 1)(10 1) 10 1 (10 1)[(10 1) 2] (10 1) ( ) ( ) 2 2 9 9 9 9 9 9
n n n n n n n n A n B n − − − + − − + − − − = − = − = =
2
2 (10 1) ( ) ( ) . 3
n A n B n − − =
Vậy ( ) ( ) A n B n − số chính phương..
Bài 4 : Tính giá trị của B= 2 (999.999.999) .
Giải: Ta viết
2 9 2 18 9
18 9
10 1 (999.999.999) 9. 10 2.10 1 1000...0 2000...0 1 9 − = = − + = − + = 2
8 8 (999.999.999) 999...98000...01 =
Bài 5: Cho số
666 666...6 A = và số
666 333...3 B = . Tính A . B ?
Giải: Ta có
666 666 666...6 6.111...1 A= = và
666
666 666
10 1 333...3 3.111...1 3. , 9 B − = = =
Vậy
666 10 1 3.6.(111...1). 9 AB − = 666 2.(111...1)(10 1) AB = − 666 (222...2)(10 1) AB = − 666 (222...2).10 222...2 AB = −
666 666 666 222...2000...0 222...2 AB = −
665 665 222...21777...78 AB =
ở tích AB:- có một số 1;- có một số 8;- có 665 số 2;- có 665 số 7.
Bài 6: Tính tổng : 2 22 ... 222...2 + + + ở số hạng cuối cùng có n chũ số 2.
Bài 7: Chứng minh rằng : 2
2 111...1 222...2 (333...3) .
n n n = +
Bài 8: Chứng minh rằng 111...1
n chia hết cho 41 nếu n chia hết cho 5.
Bài 9: Có thể hay không trong các số : 11,111,1111,11111,... có một số là số chính phương.
Bài 10: Có thể hay không các : 1111,111111,..., ở ñó có chẵn chữ số 1, là hợp số..
Bai 11. Chứng minh rằng mỗi số sau có thể viết đ−ợc thành một tích của hai số tự nhiên liên tiếp:
a) 111222 ; b) 444222
Bài 12. Tìm kết quả của phép nhân.
a)
2005 . 2005 . 33...3.99...9
c s c s A = b)
2005 . 2005 . 33...3.33...3
c s c s B =
ThuVienDeThi.com
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
