Chuyên đề Toán 6 (bồi dưỡng học sinh giỏi) dãy số viết theo qui luật

Gv: Bùi Công Hải – Trường THCS Thanh Mai CHUYÊN ĐỀTOÁN 6 (BD HSG) DÃY SỐVIẾT THEO QUI LUẬT

I. Phương pháp dựđoán và quy nạp:

Trong một sốtrường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn

Sn = a1 + a2 + .... an (1)

Bằng cách nào đó ta biết được kết quả(dựđoán, hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết

kết quả). Thì ta nên sửdụng phương pháp này và hầu như thếnào cũng chứng minh được.

Ví dụ1: Tính tổng Sn =1+3+5 +... + (2n -1)

Thửtrực tiếp ta thấy : S1 = 1

S2 = 1 + 3 =22

S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32

... ... ...

Ta dựđoán Sn = n2

Với n = 1; 2; 3 ta thấy kết quảđúng

Giảsửvới n = k (k 1) ta có Sk = k 2 (2)

Ta cần phải chứng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2 (3)

Thật vậy cộng 2 vếcủa (2) với 2k +1 ta có

1+3+5 +... + (2k – 1) + (2k +1) = k2 + (2k +1)

Vì k2 + (2k +1) = (k +1) 2 nên ta có (3) tức là Sk+1 = ( k +1) 2

Theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh

Vậy Sn = 1+3 + 5 + ... + ( 2n -1) = n2

Tương tựta có thểchứng minh các kết quảsau đây bằng phương pháp quy nạp toán học.

1, 1 + 2+3 + .... + n = 2

)1 (  n n

2, 12 + 2 2 + ..... + n 2 = 6

)1 2 )( 1 (   n n n

3, 13+23 + ..... + n3 =

2

2

)1 (

     n n

4, 15 + 25 + .... + n5 = 12

1 .n2 (n + 1) 2 (2n2 + 2n – 1)

ThuVienDeThi.com

Gv: Bùi Công Hải – Trường THCS Thanh Mai II. Phương pháp khửliên tiếp:

Giảsửta cần tính tổng (1) mà ta có thểbiểu diễn ai , i = 1,2,3...,n , qua hiệu hai sốhạng liên

tiếp của 1 dãy sốkhác, chính xác hơn , giảsử: a1 = b1 - b2

a2 = b2 - b3

.... .... .....

an = bn – bn+ 1

Khi đó ta có ngay:

Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + ...... + ( bn – bn + 1 )

= b1 – bn + 1

Ví dụ2: Tính tổng:

S = 100 . 99

1 ....... 13 . 12

1 12 . 11

1 11 . 10

1    

Ta có : 11

1 10

1 11 . 10

1   , 12

1 11

1 12 . 11

1   , . .., 100

1 99

1 100 . 99

1  

Do đó :

S = 100

9 100

1 10

1 100

1 99

1 ....... 12

1 11

1 11

1 10

1         

 Dạng tổng quát

Sn = )1 (

1 ...... 3.2 1 2.1 1

    n n (n > 1)

= 1- 1 1 1

   n

n n

Ví dụ3: Tính tổng

Sn = ) 2 )( 1 (

1 ...... 5.4.3 1 4.3.2 1 3.2.1 1

      n n n

Ta có Sn =  

  



                     ) 2 )( 1 (

1 )1 (

1 2 1 ........ 4.3 1 3.2 1 2 1 3.2 1 2.1 1 2 1

n n n n

Sn =  

  



         ) 2 )( 1 (

1 )1 (

1 ...... 4.3 1 3.2 1 3.2 1 2.1 1 2 1

n n n n

Sn = ) 2 )( 1 ( 4

) 3 ( ) 2 )( 1 (

1 2.1 1 2 1

 

   

  



   n n

n n n n

Ví dụ4: Tính tổng

ThuVienDeThi.com

Gv: Bùi Công Hải – Trường THCS Thanh Mai Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! ( n! = 1.2.3 ....n )

Ta có : 1! = 2! -1!

2.2! = 3 ! -2!

3.3! = 4! -3!

..... ..... .....

n.n! = (n + 1) –n!

Vậy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n!

= (n+1) ! - 1! = (n+ 1) ! - 1

Ví dụ5 : tính tổng

Sn =  

2 2 2 )1 (

1 2 ....... ) 3.2 (

5 ) 2.1( 3



   

n n

n

Ta có :  

; )1 (

1 1

)1 (

1 2

2 2 2    



i i i i

i i = 1 ; 2 ; 3; ....; n

Do đó Sn = ( 1-  

  



            2 2 2 2 2 )1 (

1 1 ..... 3

1 2

1 ) 2

1

n n

= 1- 2 2 )1 (

) 2 ( )1 (

1



   n

n n n

III. Phương pháp giải phương trình với ẩn là tổng cần tính:

Ví dụ6 : Tính tổng

S = 1+2+22 +....... + 2100 ( 4)

Ta viết lại S như sau :

S = 1+2 (1+2+22 +....... + 299 )

S = 1+2 ( 1 +2+22+ ...... + 299 + 2 100 - 2100 )

=> S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5)

Từ(5) suy ra S = 1+ 2S -2101

S = 2101-1

Ví dụ7: tính tổng

Sn = 1+ p + p 2 + p3 + ..... + pn ( p 1)

Ta viết lại Sn dưới dạng sau :

ThuVienDeThi.com