Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn thi Toán

Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C). 2

3 2



 x

x y

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 2. Chứng minh rằng đường thẳng d có phương trình cắt (C) tại hai điểm A, B 2 1 y x m   

phân biệt với mọi số thực m. Gọi lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A , 1k 2 k

và B. Tìm m để đạt giá trị nhỏ nhất.   2016 2016 1 2 P k k   Câu II (4,0 điểm)

1. Giải phương trình . 2 2sin 3sin 2 3 3sin 3cos 1 x x x x    

2. Giải hệ phương trình .

2 2

3 3

2 2

2 2

9 3 6 9 2 6 2 3 4

xy x y xy x y x y

xy x y xy x

                

?,?∈?

Câu III(4,0 điểm)

1. Cho ba số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ? , ?, ? ?+ ?+ 1 = ?

?=

?3

?+ ??+

?3

?+ ??+

?3

?+ ??+

14

(?+ 1) 1 + ?+ ?+ ??.

2. Tìm để hệ bất phương trình có nghiệm . ? {

|?‒ 6| ≥|?2 ‒ 5?+ 9| (?2 ‒ ?+ 4)(?4 + 16) ≤??3

Câu IV(4,0 điểm)

1. Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp trường , một trường THPT đã dùng 7 cuốn sách tham khảo môn Toán, 6 cuốn sách tham khảo môn Vật lí, 5 cuốn sách tham khảo môn Hóa học để làm phần thưởng cho 9 học sinh có kết quả cao nhất. Các cuốn sách cùng thể loại: Toán, Vật lí, Hóa học đều giống nhau. Mỗi học sinh nhận thưởng sẽ được 2 cuốn sách khác thể loại. Trong số 9 học sinh trên có hai học sinh tên là An và Bình. Tìm xác suất để hai học sinh An và Bình có phần thưởng giống nhau. 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hình thang ABCD có , Oxy · · 0 (2;4), 90 B BAD ADC   và A, C thuộc trục hoành. Gọi E là trung điểm của đoạn AD, đường thẳng EC đi qua điểm Tìm toạ độ các đỉnh A, C, D biết EC vuông góc với BD và điểm E có tọa độ nguyên. ( 4;1). F  Câu V (4,0 điểm)

1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, biết AB = BC = , khoảng 3 a

cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng và . Tính theo thể tích khối 2 a · · 0 90 SAB SCB   a chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC.

2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm và mặt A B C (4;1;5), (3;0;1), ( 1;2;0) 

phẳng (P) có phương trình .     x y z 3 3 2 37 0 Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:

S = . MA MB MC MA . . .   uuur uuuur uuur

.................Hết................. Thí sinh không được sử dụng tài liệu . Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh............................................................................................................................ Chữ kí của giám thị số 1:..........................................Chữ kí của giám thị số 2:...........................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

Năm học : 2015 – 2016

Môn thi : TOÁN

Lớp 12 THPT Ngày thi 10/3/2016 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề này có 01 trang, gồm 05 câu. Số báo danh ...........................

ThuVienDeThi.com

Câu Nội dung Điểm

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C). 2.0

 Tập xác định:  \ 2 . D   ¡

 Sự biến thiên: +) Giới hạn và tiệm cận:

, tiệm cận ngang: y = 2, lim 2,lim 2 x x y y    

; tiệm cận đứng: . 2 2 lim ,lim x x y y       2 x 

0,5

+) Chiều biến thiên:  

2 1 ' 0, 2 y x D x    

Hàm số đồng biến trên các khoảng và   ; 2    2; .  

0,5

Bảng biến thiên:

x y’

y

0,5

Đồ thị :

f(x)=(2x+3)/(x+2)

f(x)=2

x(t)=-2, y(t)=t

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-5

5

x

y

Đồ thị (C) nhận giao điểm hai tiệm cận I(-2; 2) làm tâm đối xứng.

0,5

Câu I

4,0điểm

2. Chứng minh rằng d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi số thực m.

Gọi lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A và B. 2 1,k k

2.0

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HOÁ

KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2015– 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN THI: TOÁN-LỚP 12 THPT (Hướng dẫn chấm gồm 08 trang)

 2    

2

2





ThuVienDeThi.com