Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 THPT năm 2011 (vòng 1) môn Toán (Bảng A)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VÒNG 1)

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN ( BẢNG A )

Thời gian: 180 phút (không kể giao đề) Ngày thi: 06/10/2011

Câu 1: ( 5,0 điểm )

a. Giải phương trình sau: với . 2 2 3 4 4 1 1 5 4 2 x x x x x x      x R 

b. Giải phương trình: .   2 2sin 3sin 2 1 3 cos 3sin x x x x   

Câu 2: ( 5,0 điểm )

a. Cho tam giác vuông cân tại , cạnh . Trong mặt phẳng chứa ABC B 2 AB  tam giác lấy điểm thỏa . Tìm quỹ tích của điểm ABC M

2 2 2 MA MB MC   M. b. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN hợp với nhau một góc bằng , . Tính độ dài trung tuyến còn lại của tam giác 0 60 6, 9 BM CN  

ABC. Câu 3: ( 4,0 điểm )

Cho dãy số xác định bởi và với mọi .  nu 1 1 u 

2 1 3 2 n n u u   1 n 

a. Xác định số hạng tổng quát của dãy số .  nu

b. Tính tổng . 2 2 2 2 1 2 3 2011 ... S u u u u     

Câu 4: ( 3,0 điểm )

Cho là ba số thực không âm và thỏa mãn điều kiện . , , a b c

2 2 2 1 a b c   

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

    3 6 M a b c a b c abc       

Câu 5: ( 3,0 điểm )

Tìm để hệ phương trình sau có nghiệm: m   3 2

2

2 2 2 3

3

x y x xy m

x x y m

          với là các số thực. ,x y

………………. Hết ………………. Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……………………………………;Số báo danh:…………

ThuVienDeThi.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VÒNG 1) Môn: TOÁN ( BẢNG A ). Ngày thi: 06/10/2011 ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn có 04 trang ) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.

Câu Đáp án Thang điểm a. ( 3,0 điểm )

Đặt . Khi đó phương trình trở thành: 2 3 1, 2 t x x t    

  4 2 4 2 2 4 7 5 6 9 4 4 0 t t t t t t t           0,5

(*)       

2 2 2 2 2 3 2 0 1 5 0 t t t t t t          0,5

(*)

2

2

1 0

5 0

t t

t t

     

0,5

 Với thì có một nghiệm là 3 2 t  2 1 0 t t  1 5 2 t  

 Với thì có một nghiệm là 3 2 t  2 5 0 t t   1 21 2 t  

0,5

 Khi thì 1 5 2 t  

2

2 2 1 5 1 2 2 1 5 0 2 x x x x               

hoặc . 1 3 2 5 2 x     1 3 2 5 2 x   

0,5

Khi thì 1 21 2 t  

2

2 2 1 21 1 2 2 9 21 0 2 x x x x               

hoặc . 1 19 2 21 2 x     1 19 2 21 2 x   

0,5

b. ( 2,0 điểm )

Phương trình đã cho được viết lại:   2 2 3sin 2 3sin cos cos 3 3sin cos x x x x x x    

0,5

   

2 3sin cos 3 3sin cos 0 x x x x      0,5

1 (5,0 điểm)

hoặc 3sin cos 0 x x    3sin cos 3 x x   0,5

ThuVienDeThi.com

 , 1 3sin cos 0 tan 6 3 x x x x k          k Z 

 phương trình vô nghiệm. 3sin cos 3 x x   0,5

a. (2,0 điểm )  Chọn hệ trục tọa độ vuông góc sao cho tia qua A và tia Bxy Bx qua C. Ta có: , , . Giả sử . By   0;0 B   2;0 A   0;2 C   ; M x y 0,5



2 2 2 MA MB MC       2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y        

.  2 2 4 4 0 x y x y    

0,5

 Phương trình trên là phương trình của một đường tròn tâm , bán kính .   2; 2 I  2 2 R 

0,5

 Vậy quỹ tích điểm M là một đường tròn tâm , bán kính   2; 2 I 

. 2 2 R 

0,5

b. ( 3,0 điểm )

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.  Xét trường hợp: A  0 120 BGC Ta có:     2 2 2 0 2 . .cos120 76 BC GB GC GB GC

    

2 2 2 2 0 2 . .cos60 28 4 AC MC GM GC GM GC

Vậy AC2 = 112

0,5

Vậy AB2 = 52     

2 2 2 2 0 2 . .cos60 13 4 AB NB GB GN GB GN 0,5 Vậy độ dài trung tuyến còn lại :

     

2 2 2 2 63 3 7 2 4 a a AC AB BC m m 0,5

 Xét trường hợp: A  0 60 BGC Ta có :     2 2 2 0 2 . .cos60 28 BC GB GC GB GC

    

2 2 2 2 0 2 . .cos120 52 4 AC MC GM GC GM GC

Vậy AC2 = 208

0,5

2 (5,0 điểm)

    

2 2 2 2 0 2 . .cos120 37 4 AB NB GB GN GB GN

Vậy AB2 = 148 0,5

ThuVienDeThi.com