Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học: 2011-2012 Môn thi: TOÁN Lớp 12 THPT Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012 Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề này có 01 trang, gồm 05 câu. Câu I (4,0 điểm)

Cho hàm số 3 2 1 2 3 1 3 y x x x = − + − + .

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2) Gọi 3 2 ( ) 6 9 3 f x x x x = − + −, tìm số nghiệm của phương trình: [ ] [ ] 3 2 ( ) 6 ( ) 9 ( ) 3 0 f x f x f x − + − = . Câu II (4,0 điểm) 1) Giải phương trình (1 sin )(1 2sin ) 2(1 2sin )cos 0 x x x x + − + + = .

2) Giải hệ phương trình ( )

2

3 3

2 2 ( ) (2 ) 2 , . 2( 1) 1 0

x y x y x y x y x y x y x y y x

− + ⎧ − = + + − − − ⎪ ∈ ⎨ − − + = ⎪⎩

Câu III (4,0 điểm) 1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập các số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập. Tính xác suất để lấy được số lớn hơn 2012.

2) Tính tích phân

2

2 2

2

(sin cos )d 3sin 4cos x x x I x x

π

π −

+ = + ∫ .

Câu IV (6,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn 2 2 ( ) : 9 C x y + = , đường thẳng

: 3 3 y x Δ = − + và điểm (3; 0) A . Gọi M là một điểm thay đổi trên ( ) C và B là điểm sao cho tứ giác ABMO là hình bình hành. Tính diện tích tam giác ABM , biết trọng tâm G của tam giác ABM thuộc Δ và G có tung độ dương. 2) Cho hình chóp . S ABCD , đáy là hình chữ nhật có AB a = và 2 BC a = , mặt phẳng ( ) SAB vuông góc với đáy, các mặt phẳng ( ) SBC và ( ) SCD cùng tạo với đáy một góc

bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng 2 6 a .

a) Tính thể tích khối chóp . S ABCD . b) Tính côsin góc giữa hai đường thẳng SA và BD . Câu V (2,0 điểm)

Cho các số thực , , x y z thoả mãn 1 1 , , 1 3 2 x y z > > > và 3 2 1 2 3 2 2 1 x y z + + ≥ + + .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (3 1)(2 1)( 1) A x y z = − − − . --------------------------------------------------- HẾT ------------------------------------------------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.

Số báo danh

…...............……

ThuVienDeThi.com

- 1 -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học: 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (Đề chính thức) Lớp 12 THPT Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012 (Hướng dẫn gồm 04 trang) CÂU NỘI DUNG ĐIỂM I 1) 3,0 điểm ● Tập xác định: D = . ● Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: 2 ' 4 3 y x x = − + −; '( ) 0 1 y x x = ⇔ = hoặc 3 x = . 0,5

Hàm số nghịch biến trong khoảng: ( ; 1) −∞ và (3; ) + ∞; đồng biến trên khoảng: (1; 3) .

+ Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại 1 x = ; CT 1 3 y = − , đạt cực đại tại 3 x = ; yCĐ 1 = .

+ Giới hạn: lim x y →−∞ = +∞; lim x y →+∞ = −∞.

1,0

+ Bảng biến thiên

1,0

● Đồ thị:

+ Đi qua điểm: (0; 1) và 1 4; 3 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ .

+ Nhận xét: Đồ thị (C) đối xứng qua điểm 1 2; 3 I ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠.

0,5

2) 1,0 điểm

4,0 điểm

[ ] [ ] 3 2 ( ) 6 ( ) 9 ( ) 3 0 f x f x f x − + − = (1)

(1) [ ] [ ] 3 2 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 1 0 3 f x f x f x ⇔− + − + = . 0,5

x −∞ 1 3 +∞

'y − 0 + 0 −

y

−∞

+∞

1 3 −

1

y

1

1 3 4

x O

1 3 −

ThuVienDeThi.com