Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2016 2017 môn thi Toán lớp 12

Câu 1. (4,5 điểm) Cho hàm số có đồ thị ( ) 4 2 4 1 2 1 y x m x m = - - + - ( ). m C

1) Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều. ( ) m C

2) Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. ( ) m C

Câu 2. (2,0 điểm) Tính tích phân ( ) ( )

2 2 3

2 0

sin 3 cos 1

sin 3 cos

x x x I dx x x

p

+ - =

+ ò

Câu 3. (4,5 điểm)

1) Giải phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2 2

1 2 2 2 2 2

log 5 2 log 5 2 log 2 5 log 2 1 .log 5 2 log 2 1

x x x x x x

- - + = - + + - +

2) Tìm tất cả giá trị của tham số để hệ phương trình sau có nghiệm: m

( ) ( )

3

3 2 3 2 1

4 3 2 12 12 72 3 5 60 60

y x x y

x y x x x m x y

ìï = - - ïïíï + + - - - + = + + ïïî Câu 4. (4,0 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho parabol có phương trình và elip , Oxy ( ) P 2 2 y x x = -

có phương trình . Chứng minh rằng cắt tại bốn điểm phân biệt cùng nằm trên ( ) E

2

2 1 9 x y + = ( ) P ( ) E

một đường tròn. Viết phương trình đường tròn đi qua bốn điểm đó.

2) Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm và mặt , Oxyz (1;1; 1), (1;1;2), ( 1;2; 2) A B C - - -

phẳng có phương trình . Viết phương trình mặt phẳng đi qua vuông góc ( ) P 2 2 1 0 x y z - + + = ( ) a , A

với mặt phẳng cắt đường thẳng tại sao cho ( ) P BC I 2 . IB IC =

Câu 5. (3,5 điểm)

1) Cho hình trụ có bán kính đáy , đường cao bằng Gọi là tâm của hai đáy, là a 2 . a , ' O O AB đường kính cố định của đường tròn tâm là đường kính thay đổi của đường tròn tâm Gọi là , O CD '. O a góc giữa và AB . CD a) Tính thể tích khối trụ tương ứng.

b) Xác định để thể tích khối tứ diện lớn nhất. a ABCD 2) Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành tâm Gọi lần lượt . S ABCD ABCD . O , , , p q u v

là các khoảng cách từ đến các mặt phẳng Chứng minh rằng nếu mặt O ( ) ( ) ( ) ( ) , , , . SAB SBC SCD SDA

phẳng vuông góc với mặt phẳng thì ( ) SAC ( ) SBD 2 2 2 2 1 1 1 1 . p u q v + = +

Câu 6. (1,5 điểm)

Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng , , a b c 3 3 3 a b c a b c      1. a b c a b c 

-----------------Hết----------------- Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Đề gồm 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: Toán – Lớp 12 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn: Toán – Lớp 12

Câu Lời giải sơ lược Điểm 1.1 (2,5 điểm)

Ta có ( ) ( ) ( ) 3 2 4 8 1 4 2 1 . y x m x x x m ¢= - - = - -

nên hàm số có 3 cực trị khi ( ) 2

0 0 2 1

x y x m

é = ê ¢= Û ê = - êë

1. m >

1,0

Khi đó, ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0;2 1 , 2 1 ; 4 10 5 , 2 1 ; 4 10 5 . A m B m m m B m m m - - - + - - - - + -

Ta có ( ) ( ) ( )

4 2 2 2 2 1 16 1 , 8 1 AB AC m m BC m = = - + - = -

0,5

Ta giác đều khi và chỉ khi ABC

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 4 2 1 16 1 8 1 6 1 16 1 0 AB BC m m m m m = Û - + - = - Û - - + - =

3 1

3 1 2

m

m

é = êê Û ê = + êë

So sánh với điều kiện suy ra

3 3 1 2 m = +

1,0

1.2 (2,0 điểm)

Phương trình hoành độ giao điểm của và trục hoành ( ) m C ( ) 4 2 4 1 2 1 0 x m x m - - + - =

( ) 1

Đặt ta được 2, 0 t x t = ³ ( ) 2 4 1 2 1 0 t m t m - - + - = ( ) 2

0,5

có bốn nghiệm phân biệt có hai nghiệm dương phân biệt ( ) 1 ( ) 2 Û

( )

2

2 4 1 2 1 0 4 10 5 0 5 5 1 0 1 4 2 1 0

m m m m m m m m

ìïï - - + > ï ìï - + > ï + ï ï ï Û - > Û Û > í í ï ï > ï ïïî - > ïïïî

1,5

2. (2,0 điểm)

( ) ( ) ( )

2 2 3 3 3 2 2 2 0 0 0

sin 3 cos 1

sin 3 cos sin 3 cos

x x x dx I dx x dx x x x x

p p p + - = = - + + ò ò ò

3 3 3 3 2

0 0 3 81 x x dx

p p

p = = ò

1,0

ThuVienDeThi.com