Đề thi chọn HSG lớp 12 THPT Vĩnh Phúc năm học 2014-2015 môn Toán - THPT

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015

ĐỀ THI MÔN: TOÁN - THPT Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2,5 điểm).

a) Tìm tham số để hàm số nghịch biến trên một đoạn có m   3 2 3 3 1 2 y x mx m x      độ dài lớn hơn . 4 b) Chứng minh rằng với mọi , đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số a : d y x a  

tại hai điểm phân biệt . Gọi lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến  1 2 1 x y H x    , A B 1 2 , k k

với tại và . Tìm để tổng đạt giá trị lớn nhất.  H A B a 1 2 k k  Câu 2 (2,0 điểm).

a) Giải phương trình: .   2 2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3 cos x x x x x   

b) Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số thỏa mãn điều kiện . abc a b c   Câu 3 (1,5 điểm).

Giải hệ phương trình:    

3 3 2 2

2 3 6 6 15 10

, 3 6 10 4

x y x y x y

x y y x y x y x

                

A

Câu 4 (1,5 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác có trung điểm của cạnh là điểm Oxy ABC BC , đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh đi qua điểm và đường thẳng   3; 1 M  B   1; 3 E 

chứa cạnh đi qua điểm . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác , biết rằng điểm đối AC   1;3 F ABC

xứng của đỉnh qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là điểm . A ABC   4; 2 D  Câu 5 (1,5 điểm). Cho hình chóp thỏa mãn . Gọi .S ABCD 5, 3 SA SB SC SD AB BC CD DA         là trung điểm của cạnh . Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường M BC .S MCD thẳng . , SM CD Câu 6 (1,0 điểm).

Cho các số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng: , , 1 a b c  6 a b c   

.     2 2 2 2 2 2 216 a b c    

----------Hết---------

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh ………………………………………….Số báo danh………………….

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

1

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN – THPT

(Gồm 06 trang)

Lưu ý khi chấm bài: - Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. - Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. - Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. - Trong lời giải câu 5 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Câu 1. (2,5 điểm)

Nội dung Điểm

a) 1,0 điểm Ta có     2 2 , 3 6 3 1 3 2 1 D y x mx m x mx m           A 0,25

. Điều kiện cần và đủ để hàm số nghịch biến trên một 2 0 2 1 0 y x mx m       1

đoạn có độ dài lớn hơn 4 trên đoạn có độ dài lớn hơn 4 có hai nghiệm 0 y    1

thoả mãn   1 2 1 2 ; x x x x  1 2 4 x x  

0,25

2

1 2

0 0

4 1 4 4 2 4 m m x x

                     

. 2 1 21 1 21 5 0 2 2 m m m m          

0,25

Vậy hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn  1 4

1 21 1 21 2 2 m m      

0,25

b) 1,5 điểm Phương trình hoành độ giao điểm của và : d  H

 2

1 1 2 2 1 2 2 1 0 *

x x x a x x ax a

            Đặt 

2 2 2 1 g x x ax a    

0,25

Vì nên có hai nghiệm phân biệt khác với mọi .

2 2 2 0,

1 1 0, 2 2

g a a a

g a

              

 * 1 2 , x x 1 2 a 0,25

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com