Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Bắc Giang năm học 2011-2012 đề thi môn Toán lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2011-2012 ĐỀ THI MÔN: TOÁN LỚP 12 Ngày thi: 01/4/2012 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao ñề)

Câu 1: (5,0 ñiểm) Cho hàm số 3 2 1 ( 1) (4 3) 3 3 y x m x m x m = + + + + + − (1) ( m là tham số).

1. Tìm m ñể hàm số (1) ñồng biến trên [ ] 1;2 − .

2. Tìm m ñể hàm số (1) ñạt cực trị tại các ñiểm 1 2 , x x sao cho 1 2 2 1 . x x m + = −

Câu 2: (4,0 ñiểm)

1. Giải phương trình:

2

2 1 tan 1 4sin .cos . 6 1 tan

x x x x π +   + + =   −  

2. Tìm tham số m ñể phương trình sau có nghiệm thực:

2 3 1 3 2 2 1. x x x x m + + − − − − = −

Câu 3: (4,0 ñiểm)

1. Giải hệ phương trình: ( )

2

3 2 1 .2 2. 1 log ( 1) 1

y x x x y x

 − + − =  + + + = 

( , ). x y∈ℝ

2. Tính tích phân:

1

ln( ) . 7 2 ln

e ex I dx x x = − ∫

Câu 4: (6,0 ñiểm)

1. Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy , cho tam giác ABC có ñỉnh (1; 2). C − Tìm toạ ñộ của các ñỉnh A và , B biết ñường cao ñi qua ñỉnh , B ñường phân giác trong ñi qua ñỉnh A của tam giác ABC lần lượt có phương trình là 2 0 x y − − = và 2 4 0 x y + + = .

2. Trong không gian với hệ toạ ñộ Oxyz , cho tứ diện ABCD có toạ ñộ các ñỉnh lần lượt là ( 1;2;0), A − (2;1;1), B (0; 3;4), C − (3;0;3) D và cho mặt phẳng ( ) α : 2 5 0 x y z − − − = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA MB MC MD + + +

, biết M là một ñiểm thay ñổi trong mặt phẳng ( ) α .

3. Cho tứ diện ABCD có một cạnh lớn hơn a và có các cạnh còn lại ñều không lớn

hơn a. Gọi V là thể tích của khối tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

3

. 8 a V ≤

Câu 5: (1,0 ñiểm) Cho ba số thực dương ,a b và c . Chứng minh rằng:

2 . a b b c c a a b c c a b b c c a a b

  + + + + + ≥ + +     + + +  

..................................................... HẾT ...................................................

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ....................................................................................... Số báo danh: .......................... Giám thị 1 (Họ tên và chữ ký) ....................................................................................................................... Giám thị 2 (Họ tên và chữ ký) .......................................................................................................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

http://toanhocmuonmau.violet.vn/

ThuVienDeThi.com

Trang 1/5

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011-2012 NGÀY THI 01/4/2012 MÔN THI: TOÁN LỚP 12 Bản hướng dẫn chấm có 05 trang Câu 1 Hướng dẫn giải (5 ñiểm) TXĐ: D = ℝ

2 ' 2( 1) 4 3 y x m x m = + + + + Để y ñồng biến trên [ ] 1;2 − thì [ ] ' 0, 1;2 y x ≥ ∀∈− 0.5

Với [ ] 1;2 x ∀∈− ta có 2 0 x + > , nên ta có thể ñưa ñược ñiều kiện trên về

dạng [ ] 3 2 , 1;2 2 m x x x ≥−− ∀∈− + 0.5

[ ] 1;2

3 2 max ( ), ( ) 2 x m g x g x x x ∈− ⇔ ≥ = −− + 0.5

Tìm ñược [ ] 1;2 max ( ) 2 2 3 khi 2 3 x g x x ∈− = − = −+ 0.5

1. (2.5ñiểm)

Khẳng ñịnh ñược 1 3 m ≥− KL 0.5

2 ' 2( 1) 4 3 y x m x m = + + + + Để y có cực trị thì y’ phải có hai nghiệm phân biệt và y’ ñổi dấu khi x ñi qua hai nghiệm ñó. Suy ra ' 0 ∆>

0.5

Tìm ñược ñiều kiện ñể hàm số có cực trị là

( ;1 3) (1 3; ) m∈−∞ − ∪ + + ∞ 0.5

Với ( ;1 3) (1 3; ) m∈−∞ − ∪ + + ∞, áp dụng ñịnh lý Vi-ét và kết hợp với

1 2 2 1 . x x m + = − Tìm ñược 1 2 3 5, 3. x m x m = − − = + 0.5

Tìm ñược 3 3 m = −± . 0.5

2 (2.5ñiểm)

Kiểm tra ñiều kiện và kết luận 3 3 m = −± . 0.5 Câu 2 (4 ñiểm) Điều kiện ñể phương trình có nghĩa là:

2 cos 0 cos 0 hay (*) cos 2 0 1 tan 0

x x x x

≠ ≠     ≠ − ≠   0.5

Biến ñổi ñược phương trình ñã cho trở thành

( )

2

1 1 2sin 3 cos sin cos2

1 1 2sin 3sin 2 cos2 1 cos2 3sin 2 cos2

x x x x

x x x

x x x

+ − =

⇒− + =

⇒ + =

0.5

1. (2ñiểm)

Với ñiều kiện (*) ta có 0.5

HDC ĐỀ CHÍNH THỨC

http://toanhocmuonmau.violet.vn/

ThuVienDeThi.com