Kì thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 cấp thành phố - Năm học 2012 - 2013 môn Toán

SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐCẦN THƠ

ĐỀCHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP THÀNH PHỐ- NĂM HỌC 2012-2013 KHÓA NGÀY: 16/10/2012

MÔN THI: TOÁN Thời gian: 180 phút, không kểthời gian giao đề

Câu 1 (4 điểm) Giải hệphương trình sau trên tập sốthực R   

 

x + y + z = 0 x3 + y3 + z3 = 48 x7 + y7 + z7 = 16128

Câu 2 (4 điểm) Cho dãy sốnguyên (un) được xác định như sau: ( u1 = 1 ; u2 = 2 un = 4un−1 −un−2, ∀n ≥3, n ∈N

a) Chứng minh rằng u2 n + u2 n−1 −4unun−1 = −3 với n ≥2, n ∈N

b) Chứng minh rằng u2 n −1

3 là sốchính phương với mọi n, n ∈N∗.

Câu 3 (4 điểm) Cho nửa đường tròn (T) tâm O, đường kính AB = 2R và điểm P di động trên (T) (P khác A và B). Gọi (O1) và (O2) là hai đường tròn nhận OP làm tiếp tuyến chung, đồng thời (O1) tiếp xúc với (T) và OA theo thứtựlà M, N, (O2) tiếp xúc với (T) và OB theo thứtựtại H, L.

a) Chứng minh rằng khi P di động trên (T) thì các đường thẳng MN và HL luôn cùng đi qua một điểm cốđịnh K.

b) Gọi C, D theo thứtựlà giao điểm thứhai của (O1) với MA và MB, E là giao điểm của CN với BK và F là giao điểm của DN với AK. Chứng minh rằng khi P di động trên (T), ta luôn có bất đẳng thức p > R(3 + √

2), trong đó p là chu vi tứgiác ABEF.

Câu 4 (4 điểm) Cho dãy 2013 sốnguyên dương a1, a2, a3, . . . a2013 thỏa mãn mỗi sốkhông lớn hơn 4026 và với hai sốbất kì thì bội sốchung nhỏnhất của hai sốấy luôn lớn hơn 4026. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy sốđã cho đều lớn hơn 1342.

Câu 5 (4 điểm) Trong một bảng ô vuông có 10 × 10 ô được điền ởtất cảcác ô là dấu “+”. Một bước thực hiện bằng cách đổi toàn bộnhững dấu ởmột hàng hoặc một cột nào đó sang dấu ngược lại. Có khả năng hay không sau hữu hạn bước như trên, bảng ô vuông nhận được có đúng 6 dấu “-” ? Hãy chứng minh khẳng định của mình.

——HẾT—— Ghi chú: Giám thi coi thi không giải thích gì thêm.

ThuVienDeThi.com

SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐCẦN THƠ

ĐỀCHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP THÀNH PHỐ- NĂM HỌC 2012-2013 KHÓA NGÀY: 16/10/2012

MÔN THI: TOÁN Thời gian: 180 phút, không kểthời gian giao đề HƯỚNG DẪN CHẤM

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

1(4đ)

Xét đa thức f(t) = t3 + at2 + bt + c có các nghiệm là x, y, z.

1.0đ Từphương trình x + y + z = 0, ta suy ra a = 0. Do đó f(t) = t3 + bt + c Mặt khác

1.0đ xn+3+yn+3+zn+3+b (xn+1 + yn+1 + zn+1)−16 (xn + yn + zn) = 0 (4) Và đặt Sn = xn + yn + zn với n ∈N∗. Khi đó (4) trởthành Sn+3 + bSn+1 −16Sn = 0 Ta có S7 = −bS5 + 16S4 = −b (−bS3 + 16S2) + 16 (−bS2 + 16S1) = b2S3 − 32bS2 + 256S1 (5)

1.0đ ThếS7 = 16128, S3 = 48, S2 = −2b, S1 = 0 vào (5), ta được b = ±12 +b = 12, ta được f(t) = t3 + 12t −16 có nghiệm duy nhất (không thỏa) +b = −12, ta được f(t) = t3 −12t −16 có ba nghiệm t = −2; t = 2; t = 4 Vậy hệđã cho có nghiệm (x; y; z) là (−2; 2; 4) và các hoán vịcủa nó.

2(4đ)

a) Phương trình đặc trưng λ2 −4λ + 1 = 0 ; λ1 = 2 − √

3 ; λ2 = 2 + √

3

1đ

un = c1λn 1 + c2λn 2 ( c1λ1 + c2λ2 = 1 c1λ2 1 + c2λ2 2 = 2

D =

λ1 λ2 λ2 1 λ2 2

= λ1λ2 (λ2 −λ1) = 2 √

3

Dc1 =

1 λ2 22 λ2 2

= λ2 2 −2λ1 = 3 + 2 √

3

Dc2 =

λ1 1 λ2 1 2

= 2λ1 −λ2 1 = −3 + 2 √

3

c1 = 3 + 2 √

3 2 √

3 =

√

3 + 2

2 ; c2 = −3 + 2 √

3 2 √

3 = 2 − √

3 2

Vậy un = c1λn 1 + c2λn 2 = 2 + √

3 2 λn 1 + 2 − √

3 2 λn 2, n ≥1

Ta có λ1.λ2 = 1. Vậy:

1đ

un = 2 + √

3 2 (2 − √

3)λn−1 1 + 2 − √

3 2 (2 + √

3)λn−1 2

= 1

2 λn−1 1 + λn−1 2 , n ≥1

Từđó:

Tiếp

ThuVienDeThi.com