Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 THPT năm học 2015 2016 môn thi Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016

MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 07 tháng 10 năm 2015

(Đề thi gồm 01 trang) Câu I (2,0 điểm) 1) Cho hàm số . Tìm để đồ thị hàm số cắt trục tại đúng 1 điểm.   3 3 1 2 2     y x m x m Ox

2) Cho hàm số . Tìm để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành   4 2 2 1 2     y x m x m

một tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm . 3 1

2 2

        ; M

Câu II (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình   2 2 2

2 2 3x -2x-5+2x x +1=2 y+1 y +2y+2

2x- 4y+3=x +2y

 

2) Giải bất phương trình 2 2 2 3 . 2 2( 3 ) x x x x x     

Câu III (2,0 điểm)

1) Có hai hộp đựng bi, mỗi viên bi chỉ mang một màu trắng hoặc đen. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp đúng một viên bi. a) Biết rằng hộp thứ nhất có 20 viên bi, trong đó có 7 viên bi đen. Hộp thứ hai có 15 viên bi, trong đó có 10 viên bi đen. Tính xác suất để lấy được hai viên bi đen.

b) Biết tổng số bi ở hai hộp là 20 và xác suất để lấy được hai viên bi đen là . Tính xác 55 84 suất để lấy được hai viên bi trắng.

2) Cho dãy số thỏa mãn ; và dãy số thỏa mãn: ( ) n u 1 1 u  1

2 2

n n

n

u u u   1 n  ( ) nv

. Tính và . 2 2 0 n n n n u v u v     1 n  2015 v lim n u

Câu IV (3,0 điểm) 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc , , cạnh bên 0 120 BAD   0 BD a   SA vuông góc mặt phẳng (ABCD), góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng . Điểm K 0 60 thay đổi trên đoạn SC. a) Tìm các vị trí của K sao cho tam giác BKD lần lượt có diện tích nhỏ nhất, lớn nhất. b) Khi K là điểm sao cho diện tích tam giác BKD nhỏ nhất. Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện do mặt phẳng (BKD) chia khối chóp S.ABCD. 2) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có . Điểm M thay đổi trên đường ' AB AA a   thẳng AB’ sao cho mặt phẳng qua M, vuông góc AB cắt đường thẳng BC’ tại điểm N trên đoạn BC’. Xác định vị trí của M để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. 2 2 2AM MN  Câu V (1,0 điểm)

Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

.       

2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 3 b c a ab ab bc bc ac ac          ----------------------Hết----------------------

Họ và tên thí sinh:...............................................................Số báo danh:...................................... Chữ ký của giám thị 1:........................................Chữ ký của giám thị 2:.......................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016

MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 07 tháng 10 năm 2015 (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang) (Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa) Câu Nội dung Điểm

Tìm để đồ thị hàm số cắt trục tại đúng 1 điểm m   3 3 1 2 2     y x m x Ox (1,0đ)

TXĐ: . Bài toán thỏa mãn pt có nghiệm duy nhất A    3 3 1 2 2 0     x m x

có nghiệm duy nhất khác 0.

3 3 2 6     x x m x

0,25

Xét hàm số ,  

3 3 2 0    A , \ x x f x x x  

3

2 2 2 0 1      ' ; ' x f x f x x x

0,25 Bảng biến thiên:

x 0  1    ' f x 0 +  +  f x  

0





0,25

I.1

Từ bảng biến thiên kết luận 0  m 0,25

Cho hàm số có đồ thị là (Cm). Tìm m để đồ thị (Cm) có ba   4 2 2 1 2     y x m x

điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm . 3 1 2 2

        ; M

(1,0đ)

Tập xác định của hàm số là R. Ta có:   3

2

0 4 4 1 0 1

          ' ; '

x y x m x y x m

Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình phải có ba nghiệm phân biệt 0  ' y 1 0 1      m m

0,25

Các điểm cực trị là    2 2 0 2 1 1 2 1 1 2        ; ; ; ; ; A B m m m C m m m

Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị (Cm) nhận trục Oy làm trục đối xứng, do đó tam giác ABC cân tại A, suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên trục Oy, giả sử tâm là  0; I a

0,25

Vì đường tròn đi qua nên 3 1 2 2

        ; …