Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT cấp thành phố hồ chí minh năm học 2011 - 2012 môn Toán

Sở Giáo dục và Đào tạo KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12  THPT Thành phố Hồ Chí Minh CẤP THÀNH PHỐ ________________ Năm học 2011  2012 (khoá ngày 14/3/2012)

MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút

________________

ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1. (4 điểm)

Giải các phương trình sau :

a) sin2 cos2 tan 2 x x x   

b)

3 sin 2sin 4 x x          Bài 2. (4 điểm)

Giải các phương trình sau :

a)

3 3 2 2 10 2 7 23 12 x x x x x      

b)

2 (3 2) 2 3 2 3 6 x x x x      Bài 3. (4 điểm)

a) Cho 3 số dương , , a b c thoả điều kiện 1 abc  . Chứng minh : 1 1 1 1 1 1 1 a b b c c a        

b) Cho các số thực , , 1;2 a b c      và 0 a b c    . Chứng minh :

2 2 2 6 a b c    Bài 4. (3 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh đều bằng a . Gọi M là một điểm trên cạnh

CD sao cho 1 . 3 CM CD  Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.AMB

Bài 5. (2 điểm)

Cho các số thực , , (0;1) x y z và 1. xy yz zx    Chứng minh

2 2 2 3 3 1 1 1 2 x y z x y z       Bài 6. (3 điểm)

Giải hệ phương trình :

2 2 2

2 2 2 2 4 7 2 6 3 x y y xy x y y xy

        

HẾT

ThuVienDeThi.com

Sở Giáo dục và Đào tạo KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12  THPT Thành phố Hồ Chí Minh CẤP THÀNH PHỐ ________________ Năm học 2012  2013 (khoá ngày 14/3/2013)

MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút

________________

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1. (4 điểm)

Giải các phương trình :

a)

2 8( 3) 1 22 7 0 x x x x     

b)

2 2 sin (4cos 1) cos (sin cos sin3 ) x x x x x x     Bài 2. (4 điểm)

Giải hệ phương trình :

2

2

2

1

1 6 1

xy y x x xy y

x y y y x

              Bài 3. (3 điểm)

Cho 3 số dương , , a b c thoả điều kiện

2 2 2 3 a b c    . Chứng minh rằng: 1 1 1 3 2 2 2 a b c      

Bài 4. (3 điểm)

Tìm mđể phương trình:

4 3 2 ( 1) 2 1 0 x mx m x x      không có nghiệm thực.

Bài 5. (4 điểm)

Cho hình chóp đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a . Gọi M là trung điểm của CD.

a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SC. b) Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.AMC

Bài 6. (2 điểm) Tính:

1 0 2 1 3 2 4 3 2011 2010 2012 2011

2011 2011 2011 2011 2011 2011 2 2 2 2 2 2 ... 1.2 2.3 3.4 4.5 2011.2012 2012.2013 C C C C C C A       

HẾT

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12

NĂM HỌC 2011 – 2012 (Ngày thi 14/3/2012)

Bài 1 : a/ sin2x + cos2x + tanx = 2 (1) đ/k : cosx  0

Cách 1 :

2 2

2 2 2 2 2sin cos cos sin (1) tan 2 cos sin cos sin

x x x x x x x x x

       2

2 2 2tan 1 tan tan 2 1 tan 1 tan

x x x x x

       Đặt tanx = t  t3 – 3t2 + 3t – 1 = 0  (t – 1)3 = 0  t = 1

tanx = 1  4 x k     , kz

Cách 2 : Do cosx = 0 không là nghiệm đặt t = tanx ta có :

2 2 sin2 1

t x t  

,

2

2 1 cos2 1

t x t

   Phương trình trở thành t3 – 3t2 + 3t – 1 = 0  (t – 1)3 = 0  t = 1

b/ 3 sin 2 sin 4 x x         

. Ta có :   1 sin sin cos 4 2 x x x          

   3 3 1 sin sin cos 4 2 2 x x x           Pt  (sinx – cosx)3 = 4sinx(sin2x + cos2x) = 4sin3x + 4sinxcos2x

 sin3x – 3sin2xcosx + 3sinxcos2x – cos3x = 4sin3x + 4sinxcos2x  3sin3x + sinxcos2x + 3sin2xcosx + cos3x = 0 cosx = 0 không thỏa phương trình  3tan3x + 3tan2x + tanx + 1 = 0

 tanx = – 1  4 x k     (kz)

Bài 2 :

a/ 3 3 2 2 10 2 7 23 12 x x x x x      

Cách 1 : 3 3 2 2 2 6 13 10 7 23 12 7 23 12 pt x x x x x x x          

    3 3 2 2 2 2 7 23 12 7 23 12 x x x x x x          

Xét f(t) = t3 + t  f ’(t) = 3t2 + 1  0 tR  f(t) đồng biến trên R

 3 2 ( 2) 7 23 12 f x f x x          

 3 2 7 23 12 2 x x x     

4 3 5 2 3 5 2

x

x

x

           

ThuVienDeThi.com