Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 năm học 2015 2016 môn thi Toán Trường THPT Lý Thái Tổ

Câu 1 (3.0 điểm) Cho hàm số: , với là tham số. Chứng minh rằng với mọi   3 2 3 3 1     y mx mx m m

, hàm số luôn có hai điểm cực trị . Khi đó tìm các giá trị của tham số để 0  m A,B m

(trong đó là gốc toạ độ).   2 2 2 2 20    AB OA OB O

Câu 2 (3.0 điểm) Giải phương trình: . 3 1 2 2 4           cosx cos x sin x

Câu 3 (3.0 điểm) Giải hệ phương trình:    

2 2027 3 4 6 2024 3 2 0 1

2 7 8 3 6 13 2

         

     

: x x y y ( )

(x,y ) x y 14x-18y x x ( )

Câu 4 (4.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có lần lượt thuộc E,F

các đoạn sao cho , và tam giác CEF vuông tại F. Biết đường thằng AB,AD 2 3   EB EA; FA FD 2 1 F( ; )

qua hai điểm C, E. Tìm toạ độ điểm C biết C có hoành độ dương. 3 9 0    x y

Câu 5 (3.0 điểm) Cho tứ diện ABCD có và .    AD a,AB b,AC c : : : 0 60    BAC CAD DAB

1. Tính thể tích của khối tứ diện theo . ABCD a,b,c

2. Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi của tam giác BCD. 2015     a b c

Câu 6 (2.0 điểm) Tính: 0 2 4 2014 2015 2015 2015 2015 1 1 1 3 5 2015       S C C C C

Câu 7 (2.0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 1

6 8 7 9       P

xy xz z x y z -------------------------- Hết --------------------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:.................................................. Số báo danh:....................................

SỞ GD & ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12

NĂM HỌC 2015 – 2016

Môn thi: Toán – THPT Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Ngày thi: 17 tháng 09 năm 2015

ThuVienDeThi.com

Câu Đáp án Điểm Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị…..

Ta có: 2 3 6   y' m( x x)

Với mọi , ta có: 0  m 0 3 3 0

2 3

         

x y m y'

x y m

Hàm số luôn có hai điểm cực trị. 

1.0

Vai trò A, B như nhau nên giả sử . Ta có: 0 3 3 2 3    A( ; m ), B( ; m )

   2 2 2 2 2 2 2 20 2 4 16 9 1 4 3 20            AB (OA OB ) m (m ) (m ) 1.0

1 (3.0 điểm)

(thỏa mãn đk) 2

1 11 6 17 0 17 11

           

m m m

m

Vậy giá trị m cần tìm là: và . 1  m 17 11   m

1.0

Giải phương trình: PT 3 1 2 2     cosx cos x sin x cos x 2 2 2 2 2    cos xcosx cos x sinxcosx   2 2 0     cosx cos x cosx sinx

1.0

   2 2 2 0          cosx cos x sin x cosx sinx

  2 1 0          cosx cosx sinx cosx sinx

1.0

2 (3.0 điểm)

2 2 0

3 0 2 0 4 4 1

2 2 1 4 4

                                                             

:

x k x k cosx cosx sinx cos x x k (k ) cosx sinx

x k cos x

1.0

Giải hệ phương trình… 3 (2.0 điểm)

ĐKXĐ: (Thiếu điều kiện trừ 0.5) 3 4 7 8 0 14 18 0 2       x ,y , x y , x y

PT (1) 3 4 2015 4 3 3 2 2015 3 2 3                ( x) x ( y) y ( )

0.5

Xét hàm số: liên tục trên   3 2015   f(t) t t  0   ;

Có 3 2015 3 0 0 2

     t f '(t) t , t t Suy ra hàm số đồng biến trên   0  ;

1.0

SỞ GD & ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2014 - 2015

Môn: TOÁN; Khối 12 (Đáp án – thang điểm gồm 04 trang)

ThuVienDeThi.com