Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Hải Dương lớp 12 THPT năm học 2013 2014 môn thi Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014

MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 22 tháng 10 năm 2013

(Đề thi gồm 01 trang) Câu I (2,0 điểm) 1) Cho hàm số (1) và đường thẳng (với là tham số). Tìm 3 2 2 3    y x mx x ( ) : 2 2    y mx m m để đường thẳng và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho diện tích ( )  tam giác OBC bằng (với A là điểm có hoành độ không đổi và O là gốc toạ độ). 17

2) Cho hàm số có đồ thị (C) và đường thẳng d: . Chứng minh rằng d cắt (C) 2

3 2



 x

x y m x y    2

tại hai điểm A, B phân biệt với mọi số thực m. Gọi lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của , 1k 2 k (C) tại A và B. Tìm m để P = đạt giá trị nhỏ nhất.  

2013 2 2013 1 k k 

Câu II (2,0 điểm)

1) Giải phương trình: 1 4 sin 2 4 4 cos 4 sin            x x x

2) Giải hệ phương trình:  







   

    

10 )1 ( 4 )1 9 (

1

1 1 9 1 3

2 2 3

2

x x y x

x x y xy

Câu III (2,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức: !0 !. 2013 . 2014

1 ... ! 2010 !. 3.4

1 ! 2011 !. 2.3

1 ! 2012 !. 1.2

1 ! 2013 !. 0.1

1       S

2) Cho dãy số (un) thỏa mãn: . Tìm .

 

 



  



 2 2 1 2 5

2 1

1

n n n u u u

u

*) ( N n   

  





n

k k u 1

1 lim

Câu IV (3,0 điểm) 1) Cho khối chóp có SA = 2a, SB = 3a, SC = 4a, . Gọi M, N .S ABC A A 0 AS 90 , B SAC   A 0 120 BSC  lần lượt trên các đoạn SB và SC sao cho SM = SN = 2a. Chứng minh tam giác AMN vuông. Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo a. C ( ) SAB 2) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, hai điểm M, N chạy tương ứng trên các đoạn AB và CD sao cho

BM = DN. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của MN.

Câu V (1,0 điểm) Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn: 2 2  xyz

Chứng minh rằng: 8 2 2 4 4

8 8

2 2 4 4

8 8

2 2 4 4

8 8

  

   

   



x z x z

x z z y z y

z y y x y x

y x

……………..Hết………………..

Họ và tên thí sinh:…………………………………………Số báo danh: …………………...............

Chữ ký của giám thị 1:………………………….Chữ ký của giám thị 2:.............................................

ThuVienDeThi.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014

MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 22 tháng 10 năm 2013 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) (Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa)

Câu Nội dung Điểm

1) Cho hàm số (1) và đường thẳng (với là tham 3 2 2 3    y x mx x ( ) : 2 2    y mx m

số). Tìm để đường thẳng và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, m ( ) 

B, C sao cho diện tích tam giác OBC bằng (với A là điểm có hoành độ không đổi 17

và O là gốc toạ độ).

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và ( ) là nghiệm phương trình:  3 2 3 2 2 3 2 2 2 (2 3) 2 0           x mx x mx x mx m x

. 2

2

1 ( 1) (2 1) 2 0

(2 1) 2 0(2)

                 

x x x m x

x m x 0,25

Vậy và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt phương trình (2) có hai ( )  

nghiệm phân biệt .

2 (2 1) 8 0 1 0 1 2 1 2 0 m x m m

           Khi đó, ba giao điểm là A(1;2m-2), , trong đó 1 1 2 2 B( ;2 2), C( ;2 2) x mx x mx   1 2 x ;x

là nghiệm phương trình (2) nên 1 2 1 2 x x 2m 1,x x 2     0,25

Tam giác OBC có diện tích . Trong đó 1 BC. 2 S d 

2 2 d = d(O; ) =

1+4m 

  2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 BC ( ) (2 2 ) ( ) 4 4 1 x x mx mx x x x x m            

    2 2 BC 2 1 8 4 1 m m           

2 2 1 8     S m 0,25

I1

1,0đ

Vậy S = (TM) 17  17 9 4 4 2   m m 



    2 1 m m 0,25

2) Cho hàm số có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = - 2x + m. Chứng minh 2

3 2



 x

x y

rằng d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi số thực m. Gọi lần lượt là hệ 2 1,k k

số góc của tiếp tuyến của (C) tại A và B. Tìm m để P = đạt giá trị  

2013 2 2013 1 k k 

nhỏ nhất.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và d:

m x x

x    

 2 2

3 2

  …