Một số đề thi học sinh giỏi Toán 12 - Tỉnh Bắc Ninh

Việc học vấn cần ghi ba lẽ Cho hoàn toàn chớ ñể sót quên Con chăm, cha thực, thầy nghiêm Ba ñiều có trọn mới nên ñại thành.

(Trích “Minh ñạo gia huấn”)

ThuVienDeThi.com

Nguyễn Văn Xá ðề 01

ðỀ THI HSG LỚP 12 – BẮC NINH (1999 - 2000)

Bài 1 (5 ñiểm)

1) Chứng minh rằng phương trình 3 2 6 1 1 0 2 x x x x − − − + + = không thể có nghiệm

âm.

2) Tìm a sao cho với mọi x ≠ 0 ta luôn có 2 2 1 1 ( ) (1 3sin )( ) 3sin 0 x a x a x x + + + + + > .

Bài 2 (4 ñiểm)

1) Cho sáu số thực dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn 4xyz – (a2x + b2y + c2z) = abc.

Chứng minh tồn tại các số , α β thỏa mãn 0 ,0 2 2 π π α β < < < < , sao cho

a = 2 sin yz α , b = 2 sin zx β , và c = 2 os( + ) xyc α β .

2) Cho trước ba số dương a, b, c. Tìm các số dương x, y, z theo a, b, c, biết

2 2 2 x + y + z = a + b + c

4xyz (a x+b y+c z) = abc   −  .

Bài 3 (5 ñiểm)

1) Chứng minh rằng sinA + sinB + sinC ≤ 3 3 2 .

2) Cho ∆ABC không vuông, tìm giá trị nhỏ nhất của

P = sin log sin

A B C B C A A B B C C A + + + + + .

Bài 4 (6 ñiểm) Cho tứ diện ABCD có BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c.

Gọi G là trọng tâm tứ diện và x, y, z, t lần lượt là khoảng cách từ G ñến các mặt

phẳng (DBC), (DCA), (DAB), (ABC).

a. Tìm mối liên hệ giữa a, b, c ñể GA + GB + GC + GD = 3(x + y + z + t).

b. Gọi , , α β γ là góc giữa các cặp ñường thẳng tương ứng BC và DA, CA và DB,

AB và DC. Giả sử c < b < a . Hỏi ba ñoạn thẳng os , os , os a c b c c c α β γ có thể

dựng ñược một tam giác hay không ?

ThuVienDeThi.com

Nguyễn Văn Xá ðề 02

THI HSG LỚP 11 TỈNH BẮC NINH (10 – 4 – 2001)

Bài 1 (4 ñiểm) Giải phương trình

1. (2 ñiểm) sinx(cos2x + cos6x) + cos2x = 2.

2. (2 ñiểm)

2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 20 4 5 15 3 4 12 3 x x x x x x x x x − + + − + = + + .

Bài 2 (4 ñiểm) Cho dãy (un) thỏa mãn u1 = - 2, 1 , 1

n n n

u u n u + = ∈ − N*.

1. Chứng minh un < 0, ∀n∈N*.

2. Với mỗi n∈N* ñặt vn =1 n

n

u u + . Chứng minh (vn) là một cấp số cộng và suy ra

biểu thức của vn và un.

Bài 3 (4 ñiểm) Giải hệ 27 4

1 1 5 4 27 6 1 log log 6 27 4 1

x x

y x

y x

 + =   − ≥   − ≤  

.

Bài 4 (4 ñiểm) Chứng minh rằng nếu ba số nguyên tố tạo thành một cấp số cộng

có công sai không chia hết cho 6 thì số bé nhất trong chúng là 3.

Bài 5 (4 ñiểm) Cho hình chóp S.ABC có SA = 1cm, SB = 2cm, Sc = 3cm, thể tích

bằng 1cm3. Chứng minh rằng SA, SB, SC ñôi một vuông góc.

ThuVienDeThi.com

Nguyễn Văn Xá ðề 03

ðỀ THI HSG BẮC NINH (10 – 04 – 2002)

Bài 1 (2 ñiểm)

1/ Tìm giới hạn a.

3

sin3 lim 1 2cos x

x

x π → − . b. 2 0 ln(cosx) lim x x→ .

2/ Cho 3 3 2 os( n. n 3 1) na c n n π = + + + , n∈N*. Tìm lim n n a →∞ .

Bài 2 (1.5 ñiểm) Tính các tổng sau:

a) Sn = sinx + sin2x + … + sinnx.

b) Cn = cosx + 2cos2x + … + ncosnx.

Bài 3 (2 ñiểm)

1) Giải phương trình ) 1( 2 ) 1( 2 3 2 3 x x x x − = − + .

2) Giải hệ phương trình

3 2

3 2

3 2

9 27 27

9 27 27 9 27 27

x z z

y x x z y y

 − + =  − + =   − + = 

.

Bài 4 (1.5 ñiểm) Cho dãy số vô hạn phần tử {an}. Chứng minh rằng nếu

2 1 2 , n n n a a a n + + + ≥ ∀∈N*, thì 1 3 2 1 2 4 2 ... ... , 1

n n a a a a a a n n n

+ + + + + + + ≥ ∀∈ + N*.

Bài 5 (3 ñiểm)

1) Chứng minh rằng nếu mỗi cạnh của một tam giác nào ñó ñều nhỏ hơn 1 thì

diện tích của tam giác ñó nhỏ hơn 4 3 .

2) Trong tứ diện chỉ có một cạnh có ñộ dài lớn hơn 1, chứng minh rằng thể tích tứ

diện ấy không vượt quá 1 8 . Hãy chỉ ra một tứ diện như thế.

ThuVienDeThi.com