Đề thi thử học sinh giỏi lần 14 năm học 2013-2014 môn Toán - Trường THPT 19-5

1

SỞ GD&ĐT HOÀ BÌNH

TRƯỜNG THPT 19-5

ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LẦN 14 NĂM HỌC 2013-2014

Môn TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề, không sử dụng máy tính bỏ túi.

Câu I ( 5,0 điểm

1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2cos4 3sin 2 5 x x  

2) Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là (Cm) 3 2 3 3 4 y x mx m   

Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

Câu II (6 điểm)

1) Giải hệ phương trình:

2 0

1 2 1 1

x y xy

x y

   

  

2) Tìm thoả mãn phương trình: cotx – 1 = . ) ;0 (   x x x x x 2 sin 2 1 sin tan 1

2 cos 2   

3) Giải phương trình:   0 11 3 12 3

2      x x x x

Câu III. (4,0 điểm)

Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x

(0 < x  a). Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho

SA = 2a.

1) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC).

2) Kẻ MH vuông góc với AC tại H . Tính thể tích khối chóp SMCH và tìm vị trí của M

để thể tích khối chóp SMCH lớn nhất.

Câu IV. (3,0 điểm)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0 và

(d2): 4x + 3y - 12 = 0. Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm

trên (d1), (d2), trục Oy.

Câu V. (2,0 điểm)

1) Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất :

2 2 3 . x mx x   

2) Cho tam giác ABC, với BC = a, CA = b, AB = c. Thoả mãn hệ điều kiện:

Tính số đo các góc A, B, C? 

 

 

 

2

2

) (

) (

c a b b

b c a a

----------------HẾT----------------------

ThuVienDeThi.com

2

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 14

Câu I. 2

2/. Ta có: y’ = 3x2  6mx = 0  Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m  0. 0

2

x

x m

   

Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0)  3 (2 ; 4 ) AB m m   

Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3)

Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với đường thẳng y = x và I thuộc đường thẳng y = x

3

3 2 4 0

2

m m

m m

      

Giải ra ta có: ; m = 0 2 2 m 

Kết hợp với điều kiện ta có: 2 2 m 

Câu II

1. §k: => 1

1 2

x

y

   

( ) 0 ( )( 2 ) 0

2 0

2 0( )

x y y xy x y x y

x y

x y x y voly

        

            x = 4y Thay vào (2) có

4 1 2 1 1 4 1 2 1 1

4 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1

1 ( ) 2 1 0 2 2 5 10 2 1 2 ( ) 2

y y y y

y y y y y

y tm y x x y y tm

   

     

                    Vây hệ có hai nghiệm (x;y) = (2;1/2) và (x;y) = (10;5/2)

2/ đK:

  

 

    

 



1 tan

0 2 sin 0 cos sin

0 2 sin

x

x x x

x

PT x x x x x

x x x

x x cos sin sin sin cos

cos . 2 cos sin

sin cos 2      

x x x x x x x

x x cos sin sin cos sin cos sin

sin cos 2 2      

 ) 2 sin 1( sin sin cos x x x x     0 )1 sin cos )(sin sin (cos 2     x x x x x

ThuVienDeThi.com

3

3/ Giải phương trình:   0 11 3 12 3

2      x x x x

(a + b + c = 0) 0,5đ  



 

 

x x

x

11 3

1 3

 



   

 

(*) 0 11 3 ) (

0

x x f

x

x

có nghiệm duy nhất = 2 (*) 0 ) 2 (

,0 1 3 ln 3 ) ('    



    f

x x f x

x

Vậy, tập nghiệm của phương trình: S = {0 ; 2} Câu III

Câu IV. I(4/3 ; 0), R = 4/3 Câu V.

 0 )3 2 cos 2 )(sin sin (cos     x x x x

(cos )( 2 sin(2 ) 3) 0 4 x sinx x      

cos 0

2 sin(2 ) 3( ) 4

x sinx

x voly         

tanx = 1 (tmđk)  0 sin cos   x x  ) ( 4 Z k k x      

Do   4 0 ;0        x k x

Do Lai cã ( ) ( ) ( ) ( ) SA ABCD SAC ABCD SA SAC       

( ) ( )

( ) ( , ) .sin 45

2

o

MH AC SAC ABCD

x MH SAC d M SAC MH AM

  

     

Ta cã

0 . 45 2 2 2 1 1 . ( 2 ) 2 2 2 2 1 1 . 2 ( 2 ) 3 6 2 2

MHC

SMCH MCH

x x AH AM cos HC AC AH a

x x S MH MC a

x x V SA S a a





      

   

   

Từ biểu thức trên ta có: M

 

3 2 2 1 2 2 3 2 6

2 2 2

SMCH

x x a a V a

x x a

x a

   

  

 



trïng víi D

ThuVienDeThi.com