Đề thi thử học sinh giỏi lần 12 năm học 2013-2014 môn Toán - Trường THPT 19-5

1

SỞ GD&ĐT HOÀ BÌNH

TRƯỜNG THPT 19-5

ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LẦN 12 NĂM HỌC 2013-2014

Môn TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề, không sử dụng máy tính bỏ túi.

Câu I ( 5,0 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C). 2 4 1 x y x

  

1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A(0; 20)

2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3;0) và N(-1;-1).

Câu II (6 điểm)

1) Giải phương trình: 2 2 1 3 2 1 3

x x x x

    

2) Giải phương trình:    

2 cos . cos 1 2 1 sin . sin cos x x x x x    

3) Giải hệ phương trình:

2 2

2 2

3 (1)

1 1 4 (2)

x y xy

x y

        

Câu III. (4,0 điểm)

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của

AA’. Tính thể tích của khối tứ diện BMB’C’ theo a và chứng minh rằng BM vuông góc với B’C.

Câu IV. (3,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương trình

2x – y + 3 = 0.

1) Tìm điểm A' đối xứng với A qua d.

2) Lập phương trình đường thẳng () qua A và tạo với d một góc α có cosα . 1

10 

Câu V. (2,0 điểm)

1) Tìm m để phương trình có nghiệm trên   4 4 2 sin cos cos4 2sin 2 0 x x x x m     

0; . 2       

2) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 4

3 3 3 3

1

3

1

3

1

a c c b b a P

     

----------------HẾT----------------------

ThuVienDeThi.com

2

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 12

Câu I.

2. Gọi 2 điểm cần tìm là A, B có 6 6 ;2 ; ;2 ; , 1 1 1 A a B b a b a b                 

Trung điểm I của AB: I 2 2 ; 2 1 1 a b a b a b             Pt đường thẳng MN: x + 2y +3= 0

Có : . 0 AB MN

I MN

   



=> 0 (0; 4)

2 (2;0)

a A

b B

         

Câu II 1/ 1. TXĐ: x   1;3 

Đặt t= => 1 3 , t > 0 x x  

2 2 4 3 2 2 t x x    

đc pt: t3 - 2t - 4 = 0  t=2

Với t = 2  1 1 3 =2 ( / ) 3 x x x t m x

     

2/

Giải phương trình    

2 cos . cos 1 2 1 sin . sin cos x x x x x    

ĐK: sin cos 0 x x  

Khi đó       2 1 sin cos 1 2 1 sin sin cos PT x x x x x      

   1 sin 1 cos sin sin .cos 0 x x x x x      

    1 sin 1 cos 1 sin 0 x x x     

(thoả mãn điều kiện) sin 1 cos 1 x

x

    

2 2

2

x k

x m

 

 

     

  ,k mZ

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: và 2 2 x k     2 x m       ,k mZ

3 (2)  (c) 2 2 2 2 2 2 ( 1).( 1) 14 2 ( ) 4 11           x y x y xy xy xy

Đặt xy = p. 2

2

3 11 ( ) 2 4 11 35 3 26 105 0 3

                    

p p c p p p

p p p

(1)   p = xy = (loại)  p = xy = 3   

2 3 3    x y xy 35

3  2 3   x y

ThuVienDeThi.com

3

1/ Với 2/ Với 3

3 2 3

       

xy

x y x y

3

3 2 3

       

xy

x y x y

Vậy hệ có hai nghiệm là:    3; 3 , 3; 3  

Câu III.

Gọi H là trung điểm của BC

H

M

A

B

C

C'

B'

A'

    3 ; ' 2 a d M BB C AH   

2 3

' ' ' 1 1 3 '. . 2 2 3 12 BB C MBB C BB C a a S BB BC V AH S       

Gọi I là tâm hình vuông BCC’B’ (Học sinh tự vẽ hình) Ta có ' ; ' ' ' . B C MI B C BC B C MB    

Câu IV PT đường thẳng () có dạng: a(x – 2) + b(y +1) = 0  ax + by – 2a + b = 0

Ta có: 7a2 – 8ab + b2 = 0. Chon a = 1  b = 1; b = 7. 2 2 2 1 cos

10 5( )     

a b

a b



 (1): x + y – 1 = 0 và (2): x + 7y + 5 = 0 Câu V 1)

Ta có và 4 4 2 1 sin os 1 sin 2 2 x c x x   2 os4 1 2sin 2 . c x x 

Do đó .  2 1 3sin 2 2sin 2 3 x x m    

Đặt . Ta có sin 2 t x      0; 2 0; 0;1 . 2 x x t            

Suy ra    2 3 2 3 , 0;1 f t t t m t     

Ta có bảng biến thiên

2) áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có

(*) z y x

9 z 1 y 1 x 1 9 xyz

3 xyz 3 z 1 y 1 x 1 )z y x (

3 3

         

  

    

áp dụng (*) ta có 3 3 3 3 3 3 a 3 c c 3 b b 3 a

9 a 3 c

1 c 3 b

1 b 3 a

1 P

           

ThuVienDeThi.com