Đề thi thử học sinh giỏi lần 11 năm học 2013-2014 môn Toán - Trường THPT 19-5

1

SỞ GD&ĐT HOÀ BÌNH

TRƯỜNG THPT 19-5

ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LẦN 11 NĂM HỌC 2013-2014

Môn TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề, không sử dụng máy tính bỏ túi.

Câu I (4 điểm) Cho hàm số (C) 3 2 3 2 y x x   

1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng

: 9 18 0 d x y   

2) Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến

đồ thị (C).

Câu II (6 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

1) tan( -x) + = 2 5

2

 sinx 1 + cosx

2) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 1 1 1 4 4 4

3 log x 2 3 log 4 x log x 6 2 + - = - + +

3)

3 3 3

2 2 8 27 18

4 6

x y y

x y x y

       Câu III (4 điểm)

Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a, AA' = và góc BAD 3 2 a

= 600. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B'.

1) Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN).

2) TÝnh thÓ tÝch khèi chãp A.BDMN.

Câu IV (3 điểm)

Cho đường tròn (C) có phương trình : và đường thẳng (d) có 2 2 4 4 4 0 x y x y     

phương trình : x + y – 2 = 0. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B .

Tìm toạ độ điểm C trên đường tròn (C) sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.

Câu V (3 điểm)

1) Tìm a để phương trình sau có nghiệm:

( Dự bị KA-02)  

2 2 1 1 1 1 9 2 3 2 1 0 x x a a        

2) Cho tam giác nhọn ABC , tìm giá trị bé nhất của biểu thức:

C B A A S 2 cos 2 cos cos 2 3 cos    

----------------HẾT----------------------

ThuVienDeThi.com

2

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 11

Câu I. 2/ Gọi M(m; 2)  d. Phương trình đường thẳng  qua M có dạng: . y k x m ( ) 2    Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến với (C)  Hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

 x x k x m x x k

3 2

2

3 2 ( ) 2 (1) 3 6 (2)

         

m hoaëc m

m

5 1 3 2

       Câu II.

1) (1) ( cosx+1)(1- 2sinx) = 0  

cosx+1 0 cosx+1 0

5 1 x= 2 x= 2 sin x= 6 6 2 k k    

              

Vậy x= và x= (k Z) là 2 nghiệm 2 6 k    5 2 6 k    

2) x x 2; 1 33  

3) (2)  . Đặt a = 2x; b = . (2)  x y

x x y y

3 3 3 (2 ) 18

3 3 2 . 2 3

                      

y 3 a b ab

3 1     

Hệ đã cho có nghiệm: 3 5 6 3 5 6 ; , ; 4 4 3 5 3 5

                Câu III. Chứng tỏ AC’ BD  C/m AC’ PQ, với P,Q là trung điểm của BD, MN. Suy ra AC’ (BDMN)   Tính đúng chiều cao AH , với H là giao của PQ và AC’. Nếu dùng cách hiệu các thể tích thì

phải chỉ ra cách tính. Tính đúng diện tích hình thang BDMN . Suy ra thể tích cần tìm là: .

3 3

16

a

Câu IV (C) có tâm I(2;2), bán kính R=2 Tọa độ giao điểm của (C) và (d) là nghiệm của hệ:

Hay A(2;0), B(0;2) 2 2

0

2 2 0

4 4 4 0 2

0

x

y x y

x y x y x

y

                           Hay (d) luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A,B

Ta có (H là hình chiếu của C trên AB) 1 . 2 ABC S CH AB  A

Dễ dàng thấy CH max ax CH max ABC S m  A

( ) ( ) 2 C

C C x

     

A

Hay : y = x với Vậy thì A : (2;2)

d I

    

A A A (2 2;2 2) C    (2 2;2 2) C   ax ABC S m A

Câu V.

1) Đk . Đặt t= . Ta thấy 1 1 x  

2 1 1 3 x   2 2 0 1 1 1 1 1 2 x x     

Nên

2 1 1 2 3 3 3 3 9 x t       Bài toán quy về: Tìm a để phương trình t2- (a+2)t +2a +1 =0 (1) có nghiệm t thoả

3 9 t 

H

4

A

B

I

y

x

M

2

2 O

C

ThuVienDeThi.com