Đề thi thử học sinh giỏi lần 7 năm học 2013-2014 môn Toán - Trường THPT 19-5

1

SỞ GD&ĐT HOÀ BÌNH

TRƯỜNG THPT 19-5

ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LẦN 7 NĂM HỌC 2013-2014

Môn TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề, không sử dụng máy tính bỏ túi.

Câu 1: (5,0 điểm)

1) Cho hàm số y =  x3  3x2 + mx + 4, trong đó m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ).

2) Cho hàm số . Gọi M là một điểm bất kì trên đồ thị (C), tiếp tuyến 2 4 ( ) 1 x y C x

   tại M cắt các tiệm cận của (C) tại A, B. CMR diện tích tam giác ABI (I là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí của M.

Câu II: (6,0 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình.

1) . 3 2 2 cos2 sin2 cos( ) 4sin( ) 0 4 4 x x x x       

2)

2 3 16 4 2

14 40 0 x x x log x log x log x .   

3)   1 4 4 2 2

1 log log 1

( , )

25

y x y x y

x y

          

A

Câu III(4, 0 điểm)

Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a, BC = , , . Gọi 2 a 3 a SA  A A 0 SAB SAC 30  

M là trung điểm SA , chứng minh . Tính ( ) SA MBC  SMBC V Câu IV( 2,0 điểm)

Cho đường tròn ( C) và điểm A (-2; 3) các tiếp tuyến qua A 2 2 2 4 4 0 x y x y     

của ( C) tiếp xúc với ( C) tại M, N .Tính diện tích tam giác AMN.

Câu V: (3,0 điểm)

1) Cho hàm số . Tìm giá trị nhỏ nhất của và chứng 3 2 sin ) (

2

    x x e x f x ) (x f

minh rằng có đúng hai nghiệm. 0 ) (  x f

2) Cho x, y là các số thực thỏa mãn . 2 2 2 x y   Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: 3 3 3 2( ) y P y x x   

----------------HẾT----------------------

ThuVienDeThi.com

2

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 7 Câu 1. 1)Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + )  y’ = – 3x2 – 6x + m  0,  x > 0 3x2 + 6x  m,  x > 0 (*) Ta có bảng biến thiên của hàm số y = 3x2 + 6x trên (0 ; + ) Từ đó ta được : (*)  m  0.

2/ Gọi  2 4 ; 1 1 a M a C a a

        

Tiếp tuyến tại M có phương trình:    2 6 2 4 1 1

a y x a a a

     

Giao điểm với tiệm cận đứng là 1 x  2 10 1; 1 a A a

        

Giao điểm với tiệm cận ngang là 2 y    2 1;2 B a 

Giao hai tiệm cận I(-1; 2)

Suy ra đpcm     12 1 1 ; 2 1 . .24 12 1 2 2 IAB IA IB a S IA AB dvdt a         Câu 2.

1/ 3 2 2 cos2 sin2 cos( ) 4sin( ) 0 4 4 x x x x       

3 3 2 2 cos2 sin2 (cos .cos sin sin ) 4(sin cos cos sin ) 0 4 4 4 4 x x x x x x         

. PT (2) có nghiệm . sinx+cosx=0 (2)

4(cosx-sinx)-sin2x-4=0 (3)   4 x k    

Với t=-1 ta tìm được nghiệm x là : . 3 2 hoÆc x= 2 2 x k k     

KL: Họ nghiệm của hệ PT là: , 4 x k     3 2 và x= 2 2 x k k     

2/ Giải phương trình Điều kiện: 2 3 16 4 2

14 40 0 x x x log x log x log x .   

1 1 0 2 4 16 x ;x ;x ;x .    

Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho

Với . Đặt và biến đổi phương trình về dạng 1 x  2 x t log  2 42 20 0 1 4 1 2 1 t t t      

Giải ra ta được Vậy pt có 3 nghiệm x =1; 1 1 2 4 2 2 t ;t x ;x .     1 4

2 x ;x .  

Câu 3. Cho h×nh chãp S.ABC cã AB = AC = a, BC = , , 2 a 3 a SA 

. A A 0 SAB SAC 30   Gọi M là trung điểm SA , chứng minh . Tính ( ) SA MBC  SMBC V

S

A

B

C

M

N

x

y



0

 0

ThuVienDeThi.com