Đề thi thử học sinh giỏi lần 5 năm học 2013-2014 môn Toán - Trường THPT 19-5

SỞ GD&ĐT HOÀ BÌNH

TRƯỜNG THPT 19-5

ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LẦN 5 NĂM HỌC 2013-2014

Môn TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề, không sử dụng máy tính bỏ túi.

Câu 1. (2,5 điểm)

Cho hàm số . Viết phương trình của tại giao 3 ): ( ) 1 ( 1) ( m y f x x x C m     ( ) m C

điểm của với Oy. Tìm m để tiếp tuyến trên cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho diện tích ( ) m C

tam giác OAB bằng 8.

Câu 2. (2,5 điểm)

Cho hàm số Tìm m để đồ thị của hàm số có ba cực trị và y x m m x m 4 2 2 2( 1) 1      

khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.

Câu 3. (6 điểm)

Giải phương trình, hệ phương trình.

1 )tanx cot 2(sin2 os2 ).

)2 3 6 2 x x x a x x c x

b 

  

  

c)





 

          

y

x x x x x y y y y

2 1

2 1 2 2 3 1 ( , ) 2 2 3 1

A

Câu 4. (4 điểm)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác

SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên (SCD) bằng . Tính khoảng cách từ tâm O của a 3

6

đáy đến mặt bên (SCD) và tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Câu 5. (3 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, biết trung điểm AB là M(-1; 2). Tâm

đường tròn ngoại tiếp là I(2; -1), đường cao kẻ từ A có phương trình . Viết 2 1 0 x y  

phương trình cạnh BC?

Câu 6. (2 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:

3 3 3 4 4 4 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )          a b c b c c a a b

----------------HẾT----------------------

ThuVienDeThi.com

Câu 2. ; . y x m m x 3 2 4 4( 1)     x y

x m m 2 0 0

1

       

Khoảng cách giữa các điểm cực tiểu: d = m m m

2 2 1 3 2 1 2 2 4           

 Mind =  m = . 3 1 2 Câu 3. c)

Đặt . Hệ PT  1 1      

u x v y

2

2

1 3

1 3

   

   

v

u u u

v v

, với  2 2 3 1 3 1 ( ) ( )          u v u u v v f u f v 2 ( ) 3 1    t f t t t

Ta có: f(t) đồng biến

2

2

1 ( ) 3 ln3 0 1

      

t t t f t

t



  u v  2 2 3 1 3 log ( 1) 0 (2)         u u u u u u

Xét hàm số: g(u) đồng biến   2 3 ( ) log 1 '( ) 0       g u u u u g u  Mà là nghiệm duy nhất của (2). (0) 0 g   0 u  KL: là nghiệm duy nhất của hệ PT. 1   x y

Câu 5. Áp dụng BĐT Cô–si ta có:

a b c a b c a b c a b c b c c a a b

3 3 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 ; ; (1 )(1 ) 8 8 4 (1 )(1 ) 8 8 4 (1 )(1 ) 8 8 4                     

 a b c a b c abc b c c a a b

3 3 3 3 3 3 3 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 2 4 2 4 4                Dấu "=" xảy ra  a = b = c = 1.

ThuVienDeThi.com