Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT cấp tỉnh Quảng Nam năm học 2015 - 2016 môn thi Toán

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2015 - 2016 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

Môn thi : TOÁN Thời gian : 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi : 02/10/2015

Câu 1 (4,0 điểm).

a) Giải phương trình: . 2 2 x x 3x 3(x 2)    

b) Giải hệ phương trình:

2

4 2 2 3 2 (x x 2)y x 0

(x 4x 1)y (2x x)y x 0.

     

      

Câu 2 (3,0 điểm).

a) Cho dãy số (un) xác định bởi: 1

n 1 n

u 2

u 4u 9n 12 (n 1,2,3,...). 

        Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).

b) Cho dãy số (xn) xác định bởi: 1

n 1 n

x 3

x 3 2x (n 1,2,3,...). 

       Chứng minh rằng dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 3 (3,0 điểm).

a) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ số sao cho trong mỗi số đó có đúng ba chữ số 1, các chữ số còn lại đôi một khác nhau và hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau ?

. b) Cho đồ thị và đường thẳng d: y = x + m (m là tham số). Tìm m để 2x 1 (C) : y x 1     đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt. Chứng minh rằng khi đó tích hệ số góc của hai tiếp tuyến với (C) tại hai điểm đó là một số không đổi.

Câu 4 (4,0 điểm).

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O;R). a) Gọi A1, B1, C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C trên BC, CA, AB. Gọi p1 là nửa chu vi tam giác A1B1C1 và S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng: S = R.p1.

b) M là điểm di động trên cạnh BC (M khác B và M khác C), đường trung trực của đoạn thẳng MB cắt đường thẳng AB tại E, đường trung trực của đoạn thẳng MC cắt đường thẳng AC tại F. Xác định vị trí điểm M trên cạnh BC sao cho diện tích tam giác OEF nhỏ nhất.

Câu 5 (3,0 điểm).

Cho hình vuông ABCD, M là điểm di động trên đường thẳng AB (M khác A và M khác B). Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng MC và AD, N là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng MC, I là giao điểm của hai đường thẳng AN và BE. Chứng minh ba điểm M, I, D thẳng hàng.

Câu 6 (3,0 điểm).

Cho ba số thực a, b, c đều không nhỏ hơn 1 và thỏa mãn . 2 2 2 a b c 12   

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 2 2 2 1 1 8 P 3. (a 2b)(a 2c) a 1 b 1 c 4c 8          

------------- Hết -------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2015 - 2016

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 12 THPT

Câu Đáp án Điểm

a) Giải phương trình: (1) 2 2 x x 3x 3(x 2)     2.0

Đặt , t  0 2 t x 3x   PT (1) trở thành: t2 + t – 6 = 0.

 t = –3 (loại) hoặc t = 2 (thỏa t  0).

+ Với t = 2 thì: . 2 2 x 3x 2 x 3x 4 0        x = –1 hoặc x = 4. Ghi chú: Điều kiện t ≥ 0 thay cho điều kiện x ≤ 0 hoặc x ≥ 3 (0.5)

0.5 0.5 0.25

0.5 0.25

b) Giải hệ phương trình … Ký hiệu hệ phương trình đã cho là (I) 2.0

Câu 1

(4.0)

+ (x ; y) = (0 ; 0) là một nghiệm của (I). + Mọi cặp số (x ; 0) và (0 ; y) với x0, y0 đều không phải là nghiệm của (I). + Trường hợp x  0, y  0:

2

4 2 2 2 2 3 2 x y xy 2y x 0 (I)

x y 4x y y 2x y xy x 0

      

      

2 2 2 2 2 x(xy 1) 2y xy

x (xy 1) xy(xy 1) y 5x y

          

2

2

1 2 (x ) 1 y x

1 1 1 1 x x 5 y y x x

                        

Đặt (b ≠ 0), hệ trên trở thành: (II) 1 1 a x , b y x    2 2 a 2b 1

a ab b 5

       Giải hệ (II) được: (a ; b) = (3 ; –1) và (a ; b) = (–7 ; 4)

+ Với (a ; b) = (3 ; –1) thì:   1 x;y 1; 4       

+ Với (a ; b) = (–7 ; 4) thì:   1 4 x;y ; 4 29         * Một cách giải khác: + y = 0  x = 0 (0.25) + Trường hợp y  0:

Biến đổi được: (1.0)

2

2 4 2 2

x x x 2 0 (1) y

x x x 4x 1 (2x 1) 0 (2) y y

                    

(1)  (3) (0.25) 2 x x x 2 y   

Thay (3) vào (2), khai triển và rút gọn được: 4x2 + 3x – 1 = 0. (0.25)  x = –1 hoặc x = 1/4 (0.25) x = –1  y = 1/4 (0.25) x = 1/4  y = –4/29 (0.25)

0.25

0.5

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

ThuVienDeThi.com