Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Hà Nam năm học 2011 - 2012 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2011 - 2012

Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4 điểm)

1. Cho hàm số với là tham số. Chứng minh rằng , đồ thị hàm số 3 2

1 x m y mx

   m 0 m  

luôn cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt . Xác định m để đường : 3 3 d y x m   , A B thẳng cắt các trục lần lượt tại sao cho diện tích bằng 2 lần diện d , Ox Oy , C D OAB  tích . OCD 

2. Cho hàm số có đồ thị (C). Chứng minh rằng các điểm trong mặt phẳng tọa

2

1 x y x   độ mà qua đó kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đều nằm trên đường tròn tâm I (1;2), bán kính R = 2. Câu 2: (4 điểm) 1. Giải phương trình sau trên tập số thực: 1 15 .5 5 27 23 x x x x    

2. Giải bất phương trình sau trên tập số thực: 2 2 2

2 1 log 2 6 2 2 1 x x x x x       Câu 3: (6 điểm)

1. Cho tứ diện có . Biết góc SABC , , 3 2 a AB AC a BC SA a     ( 0) a  0 30 SAB 

và góc . Tính thể tích khối tứ diện theo . 0 30 SAC  a 2. Chứng minh rằng nếu một tứ diện có độ dài một cạnh lớn hơn 1, độ dài các cạnh còn

lại đều không lớn hơn 1 thì thể tích của khối tứ diện đó không lớn hơn . 1 8 Câu 4: (4 điểm) Tính các tích phân:

1. 2.

3

2 2

2

4

x I dx x x

 

    

sinx 1 2

0

cos 1 ln sin x 1 x J dx



    

Câu 5: (2 điểm) Cho ba số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức , , a b c

2 2 2 1 1 ( 1)( 1)( 1) 2 1 P a b c a b c        

…………Hết…………

Họ và tên thí sinh:………………………………………………Số báo danh:……………………. Họ và tên giám thị số 1:……………………………………………………………………………...

Họ và tên giám thị số 2:……………………………………………………………………………...

ThuVienDeThi.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2011-2012

Hướng dẫn chấm và biểu điểm Môn: Toán (Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có 6 trang)

- Lưu ý: Nếu thí sinh trình bày lời giải khác so với hướng dẫn chấm mà đúng thì vẫn cho điểm từng phần như biểu điểm. Câu 1 Nội dung Điểm 1.(2 điểm)

Phương trình hoành độ giao điểm của và đồ thị: d

2 2 1 3 3 0, mx m x m x m     

Vì nên phương trình (*). Ta có 0 m  2 3 3 1 0 x mx   

và (ở đây 2 9 12 0, 0 m m      2 1 3 2 0, 0 f m m m             f x

là vế trái của (*)) nên luôn cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt d , A B 0 m   Ta có với là 2 nghiệm của (*). Kẻ     1 1 2 2 ;3 3 , ;3 3 A x x m B x x m   1 2 , x x

đường cao của ta có và OH OAB    3 0;

10

m OH d d   

     

 

2 2 2 2 1 2 1 2 1

2 2 1 2 1 2

3 3 10

40 10 40 10 3

AB x x x x x x

x x x x m

     

    

(Định lý Viet đối với (*)). Mặt khác ta có (để ý thì phân biệt).     ;0 , 0; 3 C m D m  0 m  , , C D O Ta tìm để hay m 2 OAB OCD S S   

2 3 40 2 10 . 2 3 3 3 10

m m m m m     

0.25

0,5

0,25

0,5

0,25

0,25

2.(2 điểm)

Gọi M . 0 0 (x ,y ) Đường thẳng d đi qua M, có hệ số góc k có phương trình

0 0 y k(x x ) y    d tiếp xúc (C ) khi hệ sau có nghiệm x 1: 

0 0

2

1 x 1 k(x x ) y (1) x 1 1 1 k (2) (x 1)

          

(3) . Thay k ở (2) vào một vị 0 0 1 (1) x 1 k(x 1) k kx y x 1        

0,25

0,5

ThuVienDeThi.com