Đề thi học sinh giỏi môn Toán 12 - Trường THPT Nguyễn Gia Thiều

CỤM TRƯỜNG THPT GIA LÂM – LONG BIÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN

TRƯỜNG THPT NGUYỄN GIA THIỀU Ngày thi 17 – 03 – 2012

Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn

  cosA cosB cosC 2 cosA.cosB + cosB.cosC + cosC.cosA   

Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Câu 2 (4,0 điểm). Cho số tự nhiên k thoả mãn 2000 k  . Chứng minh rằng

1 1000 1001 2001 2001 2001 2001 k k C C C C     .

Câu 3 (4,0 điểm). Cho dãy số   n u được xác định bởi

1

1

1

2011

2011.

n

n k k

u

u u n 



     

với 1 2011 n  

Hãy tính giá trị của tổng 1 2 3 2011 ... u u u u     .

Câu 4 (4,0 điểm). Chứng minh phương trình 3 1 3 x x   luôn có ba nghiệm thực phân biệt

là 1 2 3 , , x x x . Giả sử 1 2 3 x x x   , chứng minh 2 2 3 2 x x   .

Câu 5 (4,0 điểm). Cho tứ diện ABCD, gọi G là trọng tâm tam giác BCD, M là điểm nằm

trong miền tam giác BCD. Đường thẳng qua M và song song với AG cắt các mặt phẳng (ABC), (ACD), (ABD) theo thứ tự tại các điểm P, Q, R

a. Chứng minh MP + MQ + MR

AG không đổi khi M chạy trong miền tam giác BCD

b. Tìm vị trí điểm M để MP.MQ.MR đạt giá trị lớn nhất.

- - - - - - - - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - - - - - - - - -

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: …………………………………………………………………………… Số báo danh: ………………………

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM

Câu Yêu cầu Điểm 1 (4,0)

Có 3 cosA cosB cosC > 1 2    1,0

Suy ra 2 3 (cosA cosB cosC) (cosA cosB cosC) 2      1,0

Lại có 2 (cosA cosB cosC) 3(cosA.cosB cosB.cosC + cosC.cosA)     1,0

Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 1,0 2 (4,0)

1 1000 1001 2001 2001 2001 2001 k k C C C C     1 1001 2002 2002 k C C    (1)

Ta chứng minh (1) đúng với mọi số tự nhiên : 1000 k k  (vì r n r n n C C   , do đó (1) cũng đúng với mọi số tự nhiên :1000 2000 k k   )

1,0

Xét dãy số hữu hạn   ku với 1 2002

k ku C   , 1000 k  . Suy ra 1001 1000 2002 u C  1,0

Chứng minh dãy số hữu hạn   ku tăng, tức là chứng minh 1 k k u u   1,0

Từ đó suy ra 1000 ku u  và suy ra điều phải chứng minh. 1,0

3 (4,0)

Từ giả thiết có 1 1 2 . 2011.( ... ) n n nu u u u     và 1 2 1 ( 1). 2011.( ... ) n n n u u u u      

Suy ra 1 . ( 1). 2011. n n n nu n u u    hay  

1

2011 ( 1) . n n n u u n 

  

1,0

Ta có

1

2 1

1 1

1 1 2011 2011 3 2 1 2011

1

2011

2011 (1 1). 1

( 1) .2011. ( 1) .2011. 2011 (2 1). ( 1) .2011. 2 ! ( 1)! ...

2011 ( 1).

n n n n

n n n n

n n

u

u u

A A u u u u C n n

n u u n

 

  



                             

1,0

1 2 3 2011 ... u u u u     = 2011  0 1 2 2010 2011 2011 2011 2011 ... C C C C     1,0

= 2011   0 1 2 2010 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 ... C C C C C C           = 2011. 1,0

4 (4,0)

Chứng minh phương trình 3 1 3 x x   (2), có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng (–2 ; 2) 1,0

Đặt 2.cos x t  với 0 t    , tìm được nghiệm phương trình là 8

9 t   , 4

9 t   , 2

9 t   1,0

Do 1 2 3 x x x   , nên ba nghiệm của (2) là 1

8 2.cos 9 x   , 2

4 2.cos 9 x   , 3

2 2.cos 9 x   1,0

Chứng minh được 2 2 3 2 x x   1,0

5 (4,0)

a. Vẽ hình và xác định đúng các điểm P, Q, R 1,0

Chứng minh được MP + MQ + MR

AG = MBC MCD MBD

BCD

3S 3S 3S S   = 3 2,0

b. Áp dụng kết quả câu a, tìm được MP.MQ.MR đạt giá trị lớn nhất bằng AG3 khi M  G. 1,0

Các cách giải khác mà đúng vẫn chấm điểm. Học sinh lập luận đầy đủ chặt chẽ mới cho điểm tối đa.

ThuVienDeThi.com