Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh lớp 12 THPT năm học 2014-2015 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2014-2015

Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút.

(Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu)

Câu 1. a. Giải phương trình .

2

2 2 4cos cos ( ) sin( ) 2 6 0 os 3sin

x x x

c x x

    

 

b. Giải hệ phương trình .

2 3

2 2 2 2 4 2 4

4 1 2 1 0

x y x y

x y y x

     

  

Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hàm số có đồ thị (C). Tìm 2 x y x  

điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt các trục Ox, Oy lần

lượt tại A, B phân biệt thoả mãn: . 5 2 AB OA OB  

Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Gọi I là

trung điểm của AC. Biết hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là

điểm H thoả mãn và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 600. 3 BI IH   

a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SI.

Câu 4. Cho các số thực . Chứng minh rằng: , , (0;1) a b c

. 2 2 2 log ( ) log ( ) log ( ) 6 bc ca ab a bc ab c abc   

Câu 5. Cho các số thực dương thỏa mãn:

  



  

4

6 xyz

z y x . Tìm giá trị lớn nhất và , , x y z

nhỏ nhất của biểu thức . 3 3 3 1 1 1 F x y z   

_____________ Hết _____________

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ......................................................Số báo danh:................................... Chữ ký giám thị 1………………… ……..Chữ ký giám thị 2………………....................

ThuVienDeThi.com

Lời giải

Câu NỘI DUNG 1a) 2

2 2 4cos cos ( ) sin( ) 2 6 0 (1) os 3sin

x x x

c x x

    

 

ĐK: 2 2 1 cos 3sin 0 cos2 ( ) 2 6 x x x x k k           A

(1)  2 2 2sin 2 sin sin( ) 3 1 6 0 cos cos3 ( sin cos ) 0 os 3sin 2 2

x x x

x x x x c x x

  

      

1 3 cos3 cos sinx cos3x=cos(x+ ) 2 2 3 x x     

3 2 3 6 ( ) 3 2 3 12 2

x x k x k

k k x x k x

   

   

                        

A

Đối chiếu đk ta có: ; 12 2 k x k Z      

ThuVienDeThi.com

1b) 2 3

2 2 2 2 4 2 4 (1)

4 1 2 1 0 (2)

x y x y

x y y x

     

   Điều kiện (*) 0 x  Từ phương trình (2) ta có: (3) 2 2 4 1 2 1 x y y x  

2 2 2 2 2 2 (4 1) 4 ( 1) 4 2 x y y x x y x y         Với thay vào (3) ta có: (không thoả mãn (1)) 2 x y  0 x y   Với thay vào (3) thoả mãn, 2 x y 

Thay vào (1) ta có: (4) 3 2 3 2 (2 ) x x   

Để pt (4) có nghiệm thì , lúc đó 3 0 2 x   3 6 (4) 2 2 x x    

Đặt ta có hệ 3 6 2 ; ( , 0) x a x b a b     6 6

2

2

a b

a b

      

Ta lại có và 6 6 3 3 2 8( ) 4( ) a b a b   

3 3 3 2 2 ( )( ) 2 2 2 a b a b a b a b ab              

Do đó hay 6 6 8( ) 16 a b   16 16 

Có “=” khi hay . 1 a b   1 1; 2 x y   

ĐS: Hệ có nghiệm ( ) 1 1; 2



Lưu ý (3)

2 2 2

1 ( 2 ) 1

x y

x y

     

Xét hàm số với 2 ( )

1

x f x

x 



x R 

Ta có với suy ra hàm số đồng biến trên . 2 2 1 '( ) 0 ( 4) 4 f x

x x    

x R  R

Từ (3) ta có . ( ) ( 2 ) 2 f x f y x y    

ThuVienDeThi.com