Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Vĩnh Phúc lớp 12 THPTnăm học 2013-2014 môn Toán THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN THPT Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Ngày thi 25/10/2013 Câu 1 (2,0 điểm). Giải phương trình 2 3sin2 3 1 2cos x x   .

Câu 2 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 2 4 3 y x mx m    (1), m là tham số thực.

a) Tìm m để đường thẳng 4 y x m  cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt.

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 2, trong đó (0; 1) C  .

Câu 3 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình sau với m là tham số thực

3 2 2

2 3 3 2 ( , ) 2 6

x x y x xy m x y x x y m

            



a) Giải hệ khi 2 m  .

b) Tìm m để hệ đã cho có nghiệm.

Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình chóp .S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi

M là trung điểm của BC và H là trung điểm của . AM Biết HB HC a   ,

 0 30 HBC  ; góc giữa mặt phẳng   SHC và mặt phẳng   HBC bằng 0 60 . Tính theo

a thể tích khối chóp .S HBC và tính cosin của góc giữa đường thẳng BC và mặt

phẳng   SHC .

Câu 5 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông

tại A và D; 2 , 3 AB AD CD AD   . Đường thẳng BD có phương trình 2 1 0 x y   ,

đường thẳng AC đi qua điểm   4;2 M . Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng diện tích ABCD

bằng 10 và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 2.

Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực , , a b c thỏa mãn 0 a b c    và

2 2 2 3 a b c   .

Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 2014 P abc a b c    .

………. Hết……….

- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

- Họ và tên thí sinh …………………………………Số báo danh………………………….

ThuVienDeThi.com

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN THPT HƯỚNG DẪN CHẤM

(Gồm 05 trang) Lưu ý khi chấm bài: - Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. - Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. - Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. - Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Câu 1. (2,0 điểm)

Nội dung Điểm

Phương trình tương đương: 3sin 2 3 1 1 cos2 x x   .

1 3 3 cos2 sin 2 2 2 2 x x    .

3 cos 2 3 2 x          

.

  12

4

x k

k x k

 

 

        



Vậy phương trình có nghiệm là 12 x k     hoặc ( ) 4 x k k     .

Câu 2. (2,0 điểm)

Nội dung Điểm

a) (1,0 điểm). Phương trình hoành độ giao điểm: 3 2 4 4 3 x mx m x m    .

2

0

3 1 0 (1)

x

x mx

     

Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 2 9 4 0 m    2 3

2 3

m

m

   

  

. Vậy các giá trị cần tìm của m là 2 3 m  hoặc 2 3 m  .

ThuVienDeThi.com