Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 THPT năm học 2013 2014 môn thi Toán thời gian làm bài 180 phút

Lấy đáp án và lời giải => http://hocmaivn.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi: 22 tháng 10 năm 2013

(Đề thi gồm 01 trang)

Câu I (2,0 điểm)

1) Cho hàm số (1) và đường thẳng (với là tham số). 3 2 2 3    y x mx x ( ) : 2 2    y mx m Tìm để đường thẳng và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, B, C sao m ( )  cho diện tích tam giác OBC bằng (với A là điểm có hoành độ không đổi và O là gốc toạ 17 độ).

2) Cho hàm số có đồ thị (C) và đường thẳng d: . Chứng minh rằng d cắt 2

3 2



 x

x y m x y    2

(C) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi số thực m. Gọi lần lượt là hệ số góc của tiếp , 1k 2 k tuyến của (C) tại A và B. Tìm m để P = đạt giá trị nhỏ nhất.  

2013 2 2013 1 k k 

Câu II (2,0 điểm)

1) Giải phương trình: 1 4 sin 2 4 4 cos 4 sin            x x x

2) Giải hệ phương trình:  







   

    

10 )1 ( 4 )1 9 (

1

1 1 9 1 3

2 2 3

2

x x y x

x x y xy

Câu III (2,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức: !0 !. 2013 . 2014

1 ... ! 2010 !. 3.4

1 ! 2011 !. 2.3

1 ! 2012 !. 1.2

1 ! 2013 !. 0.1

1       S

2) Cho dãy số (un) thỏa mãn: . Tìm .

 

 



  



 2 2 1 2 5

2 1

1

n n n u u u

u

*) ( N n   

  





n

k k u 1

1 lim

Câu IV (3,0 điểm)

1) Cho khối chóp có SA = 2a, SB = 3a, SC = 4a, . Gọi .S ABC A A 0 AS 90 , B SAC   A 0 120 BSC  M, N lần lượt trên các đoạn SB và SC sao cho SM = SN = 2a. Chứng minh tam giác AMN vuông. Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo a. C ( ) SAB

ThuVienDeThi.com

Lấy đáp án và lời giải => http://hocmaivn.com

2) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, hai điểm M, N chạy tương ứng trên các đoạn AB và CD sao

cho BM = DN. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của MN.

Câu V (1,0 điểm) Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn: 2 2  xyz

Chứng minh rằng: 8 2 2 4 4

8 8

2 2 4 4

8 8

2 2 4 4

8 8

  

   

   



x z x z

x z z y z y

z y y x y x

y x

……………..Hết………………..

Họ và tên thí sinh:…………………………………………Số báo danh: …………………........

Chữ ký của giám thị 1:………………………….Chữ ký của giám thị 2:.....................................

ThuVienDeThi.com

Lấy đáp án và lời giải => http://hocmaivn.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014

MÔN THI: TOÁN

Ngày thi: 22 tháng 10 năm 2013

(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)

(Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối

đa)

Câu Nội dung Điể

m

1) Cho hàm số (1) và đường thẳng (với là tham 3 2 2 3    y x mx x ( ) : 2 2    y mx m

số). Tìm để đường thẳng và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, m ( ) 

B, C sao cho diện tích tam giác OBC bằng (với A là điểm có hoành độ không đổi 17

và O là gốc toạ độ).

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và ( ) là nghiệm phương trình: 

3 2 3 2 2 3 2 2 2 (2 3) 2 0           x mx x mx x mx m x

. 2

2

1 ( 1) (2 1) 2 0

(2 1) 2 0(2)

                 

x x x m x

x m x

0,25

Vậy và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt phương trình (2) có hai ( )  

nghiệm phân biệt .

2 (2 1) 8 0 1 0 1 2 1 2 0 m x m m

          

Khi đó, ba giao điểm là A(1;2m-2), , trong đó 1 1 2 2 B( ;2 2), C( ;2 2) x mx x mx   1 2 x ;x

là nghiệm phương trình (2) nên 1 2 1 2 x x 2m 1,x x 2     0,25

I1

1,0đ

Tam giác OBC có diện tích . Trong đó 1 BC. 2 S d 

2 2 d = d(O; ) =

1+4m 

  2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 BC ( ) (2 2 ) ( ) 4 4 1 x x mx mx x x x x m            

ThuVienDeThi.com